Umformung eines Ausdrucks mit Fakultätszeichen, Taylorreihe.

Question

Ich hab ein bisschen Probleme mit dem Aufstellen eines Taylorpolynoms, beziehungsweise damit, die Lösung nachzuvollziehen. Gegeben ist die Funktion 1/(x-3) und die Taylor Reihe T(x;-1) ist gefragt.

In der Lösung heißt es jetzt ∑_k≥0 [-1/(4^k+1)]*(x+1)^k

Was ich jetzt nicht verstehe ist, wie man auf 4^k+1kommt. Wahrscheinlich über 4*k! , bin mir da aber nicht sicher und kriege es auch nicht hin mir das selbst herzuleiten.

Liebe Grüße,

Nox

Answer 1

allgemein ist es doch

∑_k≥0    f^(k)(-1) / k!  *(x+1)^k

Die Ableitungen sind   

f⁽⁰⁾(x) = 1/(x-3) also  f⁽⁰⁾(-1) = 1/(-1-3) =  -1/4    =    -1/4¹    

f⁽¹⁾(x) = -1/(x-3)² also  f⁽¹⁾(-1) = -1/(-1-3)² =  -1/16     =    -1/4²


f⁽²⁾(x) = 2/(x-3)³ also  f⁽²⁾(-1)  /  2!   = ( 2/(-1-3)³ )  /   2!  =  -1/64 =   =    -1/4³   

allgemein


f^(k)(x) = (-1)^k*k! /(x-3)^k+1  also  f^(k)(-1)  /  k!     =

( (-1)^k*k! /(-1-3)^k+1  ) / k!    =   -1/4^k+1   ( k! kürzt sich weg )

und damit

∑_k≥0 [-1/(4^k+1)]*(x+1)^k