Quadratische Funktion ohne Ausgangswerte möglich?

Question

drei Schüler, inklusive Eltern (ua. ich), Nachhilfelehrer (allerdings für Englisch) und Freunde verzweifeln am folgender Aufgabe, die ich euch einfach mal als Bild angehängt habe. Bis Ausgabe 4 wurde schon berechnet, dass die Schokolade nun 121 Gramm wiegt. Ab Aufgabe 5 ist bei uns allen vorbei. Das bisher erarbeitete hänge ich jetzt mal mit an. Es wurden fiktive Werte für die Größe der Schokolade genommen, aber das kann doch nicht richtig sein?

Für Hilfe danke ich euch

Verzweifelte Grüße
Arabesque

P.s. nicht auf das geschmiere achten, ich hoffe man kann das lesen :-)
 

Answer 1

5.

Da nichts über das alte Volumen bekannt ist kann man auch nicht das neue Volumen bestimmen. Ich nehme mal an, das alte Volumen war V0. Dann gilt für das neue Volumen

V(x) = V0·(1 + x)·(1 + x) = V0·(1 + x)^2

V(x) = V0·(x^2 + 2·x + 1) = V0·x^2 + 2·V0·x + V0

Für V0 = 1 erhält man das neue prozentuale Volumen im Vergleich zum alten Volumen, welches dann 100% betrug.

Answer 2

Was habt ihr denn schon alles heraus ?

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100 % besser ist wohl der Geschmack gemeint

F = x * y
F ( neu ) = 1.1 * x * 1.1 * y = 1.21 * x * y

Preis
1.49 * 1.21 = 1.80
1.79 wird gefordert.
Die Schokolade ist etwas günstiger geworden.

1. 1.21 entspricht 21 % Vergrößerung

2. 121 gr

3. Die Schokolade ist billiger geworden. Siehe oben.

4. siehe  oben

5. 
x = p% / 100
V ( x ) = L *  ( 1+ x )  * B *( 1+ x ) * H
V ( x ) = L *  ( 1+ x ) ^2 * L * B * H

Soviel zunächst

Comments

Mmh, ich bin leider schon so lange raus, aber ist Volumenberechnung, vereinfacht, nicht
V= L * B * H?

Das neue Volumen würde man dann doch
V= (L * 1,1) * (B * 1,1) * H  oder
V= (L * (1 + P) * (B * (1 + P)) * H rechnen?
Aber das ist sicherlich dasselbe wie bei Georgborn?? *lach*

Was meint ihr, sollte man hier, man hat ja keine Werte, sich eine Tafel Schokolade nehmen und diese Werte verwenden?

Die grafische Darstellung haben wir jetzt als Zuwachs Volumen/Fläche dargestellt, aber da sind wir wohl mal noch völlig daneben.

Die Funktionsgleichung soll ja in Normalform (V= (L * 1,1) * (B * 1,1) * H) als auch Scheitelpunktform geschrieben werden. Wenn wir nur eine "lineare" Gleichung haben, dann haben wir ja keinen Scheitelpunkt?

Ein Tipp gab uns der Lehrer, verwendet eine Wertetabelle, da bin ich schon wieder raus... Ach ist das mist, wenn man so lange aus der Schule raus ist :-/

Ich hänge mal mit an, was wir eben mal kurz erprobt haben :-)

Ein riiiiesen Dank auf jeden Fall schon mal

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Das neue Volumen würde man dann doch
V= (L * 1,1) * (B * 1,1) * H  oder
V= (L * (1 + P) * (B * (1 + P)) * H rechnen?

p ist als Prozentzahl definiert
V= (L * (1 + P) * (B * (1 + P)) * H
V= (L * (1 + 10) * (B * (1 + 10)) * H
und somit falsch

x = p / 100 = 10 / 100 = 0.1
dann ist deine Formel für 10 % richtig
V= (L * 1,1) * (B * 1,1) * H 

Jetzt soll x aber variabel sein
deshalb lautet die Formeln
x = p% / 100
V ( x ) = L *  ( 1+ x )  * B *( 1+ x ) * H
V ( x ) = ( 1+ x ) ² * L * B * H
V ( x ) = L * B * H * ( 1+ x ) ²
V ( x ) = ( L * B * H ) * ( x  + 1 ) ²
Dies ist die Scheitelpunktform

 

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Ist soweit alles klar ?
Ansonsten weiter nachfragen.

V ( x ) = ( L * B * H ) * ( x  + 1 ) ^2
Die Normalform hat der mathecoach schon
angegeben.
V ( x ) = V0 * ( x  + 1 ) ^2
V ( x ) = V0 * ( x^2 + 2x + 1 )
V ( x ) = V0 * x^2 + V0 * 2x + V0*1

Die Grafik zeigt
V ( x ) = ( L * B * H ) * ( x  + 1 ) ^2
V ( x ) = V0 * ( x  + 1 ) ^2

10 % Vergrößerung
x = 0.1
V ( 0.1 ) =  V0 * ( 0.1  + 1 ) ^2= 1.21
1.21 entspricht 121 % des ursprünglichen
Volumens von 100 %
( 0.1 | 1.21 ) entspricht 21 %  Zuwachs

100 % Vergrößerung
x = 100 / 100 = 1
V ( 1 ) =  V0 * ( 1  + 1 ) ^2= 4
( 1 | 4 ) entspricht 300 % Zuwachs

7.) Scheitelpunt ( -1 | 0 )
Scheitelpunkt = Nullstelle

8.) Schnittpunkt mit der y-Achse
x = 0
V ( 0 ) = 1
N ( 0 | 1 )
Im Schnittpunkt mit der y-Achse
ist der Zuwachs 0. Dies entspricht dem
Ausgangsvolumen.

9.) eine Verkleinerung
hier 10 %
x = - 10 / 100 = -0.1
V ( -0.1) = 0.9 ^2 = 0.81
( -0.1 | 0.81 )
Verkleinerung  auf 81 %
Verkleinerung um 19 %

10.) Dann ist das Volumen 0,

11.)
gegeben : Preis für Menge z.B. 1 € / 100 gr

Preis = Preis pro Menge * Menge
Preis = 1 € / 100 gr  * 200 gr = 2 €

Preis = Preis pro Menge * Menge
Preis / Menge = konstant
Es herrscht Proportionalität.

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Hallöchen,

wir haben, danke euch, nun endlich Licht am Ende des Tunnels gefunden :-)

Aber eine Frage bleibt noch:

9.) eine Verkleinerung
hier 10 %
x = - 10 / 100 = -0.1
V ( -0.1) = 0.9 ² = 0.81
( -0.1 | 0.81 )
Verkleinerung  auf 81 %
Verkleinerung um 19 %

Wie bist du da auf :
V ( -0.1) = 0.9 ² = 0.81  das gekommen? Wie kommt man auf 0,9²?
Das erschließt sich uns leider noch nicht :-/

LG, Arabesque

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10 % Vergrößerung
x = 0.1
V ( 0.1 ) =  V0 * ( 0.1  + 1 ) ² = V0 * ( 1.1 ) ²= 1.21
1.21 entspricht 121 % des ursprünglichen
Volumens von 100 %
( 0.1 | 1.21 ) entspricht 21 %  Zuwachs

10 % Verkleinerung 
x = -0.1
V ( -0.1 ) =  V0 * ( -0.1  + 1 ) ² = V0 * ( 0.9 ) ²= 0.81
0.81 entspricht 81 % des ursprünglichen
Verkleinerung  auf 81 %
Verkleinerung um 19 %

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Alles klar, jetzt ist es auch für mich schlüssig! Mit diesem Zwischenschritt bin ich weiter gekommen, viiielen Dank!!! Und ich habe wieder mal gelernt, mach mal die Augen richtig auf (schäm)

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Am meisten lernt man durch Aufgaben rechnen
und üben.

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Da geb ich dir Recht! Auf jeden Fall :-)

Aber da habe ich irgendwie den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen *lach

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Huhu, wir haben tatsächlich noch eine Frage zu 5.

Doe Mädels fragen, wo kommt die 1 aus der Klammer denn her?

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falls sich etwas z.B. L um 5 % erhöht ist die
Erhöhung :  L * 5 / 100 = L * 0.05

Neu L ist  :
L + L * 0.05 
L * 1 +  L * 0.05 | nun L ausklammern
L * ( 1 + 0.05 )

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V ( x ) = L *  ( 1+ x )  * B *( 1+ x ) * H
V ( x ) = ( 1+ x ) ² * L * B * H
V ( x ) = L * B * H * ( 1+ x ) ²
V ( x ) = ( L * B * H ) * ( x  + 1 ) ²

Das ist ja die Formel für Aufgabe 5 und vergrößert wurden die Länge und Breite ja jeweils um 10 %. Wir verstehen diese 1 nicht:
V ( x ) = L *  ( 1+ x )  * B *( 1+ x ) * H  :-/

Weißt du zufällig auch, wenn man die Scheitelpunktform mit der 1. Binomischen Formel berechnet, muss man ja dann die quadratische Ergänzung anwenden.
Somit wird aus:
= b*l*h (x²+2x)+1

= b*l*h (x²+2x+(2/2)²-(2/2)²)+1

Die Mädels haben schon in der Schule nicht verstanden, wie man aus +2x auf +(2/2)²-(2/2)² kommt. Gibt es einen schnellen Weg, diesen verständlich zu erklären?

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Beispiel
1 * a + 2 * a
( 1 + 2 ) * a

L + L * 0.05 
L * 1 +  L * 0.05 | nun L ausklammern
L * ( 1 + 0.05 )

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Desweiteren

x^2 + 2x
Die 1.Binomische Formel ist
a^2 + 2ab + b^2
entspricht hier
x^2 + 2x 

x^2 = a^2
2x = 2ab  => b = 1
b^2 = 1^2
Merken
b = die Hälfte der Vorzahl von x zum Quadrat

x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1^2 - 1^2
( x^2 + 2x + 1^2 ) - 1^2
( x + 1 )^2 - 1

Weiteres Beispiel
x^2 + 5x
Die Hälfte der Vorzahl von x zum Quadrat ist
( 5/2) ^2

x^2 + 5x + 2.5 ^2 - 2.5 ^2
( x + 2.5) ^2 - 6.25