Wenn ich beweisen will, dass U_1 ein Untervektorraum ist, reicht dann die folgende Begründung?
$$ U_1=\lbrace \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4|x_1+x_2-x_4=0,2x_1-x_2+x_3=0\rbrace\\=\lbrace \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_2-2x_1 \\x_1+x_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \rbrace$$
\( Beweis: Seien\quad u_1,u_2\in \mathbb{R}^4 \quad bel., mit\quad u_1:=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_2-2x_1 \\x_1+x_2 \end{pmatrix}und \quad u_2:=\begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_2-2y_1 \\y_1+y_2 \end{pmatrix},sowie \quad \lambda \in \mathbb{R}.~ Dann \quad gilt:\\(i)\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_2-2x_1 \\x_1+x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_2-2y_1 \\y_1+y_2 \end{pmatrix}=...= \begin{pmatrix} x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_2+y_2-2(x_1+y_1) \\y_1+x_1+x_2+y_2 \end{pmatrix} \in U_1. \\(ii)\lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_2-2x_1 \\x_1+x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1\\\lambda \cdot x_2\\\lambda \cdot(x_2-2x_1) \\\lambda \cdot(x_1+x_2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1\\\lambda \cdot x_2\\\lambda \cdot x_2-2\lambda \cdot x_1 \\\lambda \cdot x_1+\lambda \cdot x_2 \end{pmatrix} \in U_1 \)
Die null ist enthalten.
