Folge auf Konvergenz untersuchen. Bsp. (1-(1/x^2))^{x^2}

Question 1

hab da jetzt zwei Folgen:

Folge 1 (1-(1/x²))^{x^2}

Man könnte ja jetzt hier statt den Bruch x^-2schreiben. Also 1-x^-2

^{Und da ja die jetzt addiert, steht da 1^{x^2} also immer 1 - x^{-2+x^2} und das geht ja gegen minus unendlich, also kein grenzwert}

Folge 2 (1-(1/x²))^x

^{Selbe Argumentation wie oben}

^{Stimmt meine Überlegung?}

Question 2

EDIT: Bei Folgen wird in der Regel kein x sondern z.B. ein n, m oder k verwendet.

Bist du sicher, dass es eine Folge sein soll?

Question 3

Du darfst leider nicht die Basis mit 1 Abgrenzen wenn sie hoch unendlich geht.

Verwende den e^{ln(..)} um den Exponenten von der Basis zu trennen und untersuche dann den Exponenten.

Ihr hatbt das bestimmt auch so in der Uni gemacht.

LIM (x --> ∞) ((1 - 1/x^2)^x²) = 1/e

Question 4

Also ist es dann e^{ln (1-1/x^2) *1/x^2}?

Question 5

Genau und jetzt untersucht man den Grenzwert vom Exponenten

ln(1 - 1/x^2) * x^2

Willst du das mal probieren?

Question 6

a)

lim x --->∞ (1-1/x^2)^{x^2}

=lim z--->∞ (1-1/z)^{z}=e^{-1}

b)

lim x--> ∞ (1-1/x^2)^x

=lim x--> ∞ (1-1/x)^x *(1+1/x)^x=e^{-1}*e=1

Question 7

Ich versteh leider nicht, wie du darauf kommst. Könntest du mir erklären, was genau das z jetzt ist und wie du dann auf 1/e und 1 gekommen bist

Question 8

Ich habe x^2=:z gesetzt. Da x gegen unendlich strebt, geht auch z gegen unendlich. Dann gilt (hier ohne Herleitung)

$$ \lim_{x\to\infty}(1+\frac { a }{ x })^x=e^a $$

Das wird genutzt, wobei a=-1

Bei der zweiten Aufgabe wurde die 3te binomische Formel verwendet.

Question 9

Hast du bei b einfach den Term aufgeteilt?

Question 10

1 - 1/x^2

= 1- (1/x)^2 | 3. Binom

= (1 - 1/x ) ( 1 + 1/x)

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