Wieso die erste Ableitung?

Question

Ich habe Schwierigkeiten dabei ein Gleichungssystem auszsutellen mit dem man zum Beispiel die fehlenden Parameter eine quadratischen Funktion ermitteln kann.

z.B.: Die Flugbahn eines anderen Golfballes kann nährungsweise durch eine quadratische Funktion p mit p(x)= a*x²+b*x+c beschrieben werden.

x...waagrechte Entferunung des Golfballes vom Abschlagpunkt in Metern

p(x)... Höhe des Golfballes in Metern

Zu Beginn liegt der Golfball in Punkt B=(0/-0,5) und erreicht den höchsten Punkt bei H=(21÷4/361÷160)

Also ich weiß dass ich 3 Funktionen austellen muss. p(0)=-0,5 p(21÷4)= 361÷160 und p'(21÷4)= 361÷160

Das Problem das ich habe ist, dass ich bei solchen Beispielen nicht verstehe, also indem Fall wieso man die erste Ableitung vom Höchsten Punkt nimmt. Gibt es da irgendwelche Regelungen?

Answer 1

allgemein:  Bei einer differenzierbaren Funktion ist in jedem

Extrempunkt im Inneren des Definitionsgereiches die 1. Ableitung = 0 .

Der Graph hat an dem Punkt eine waagerechte Tangente.

Comments

Gibt es irgendwo eine Seite wo diese Regeln stehen ? Also das beim Höchsten Punkt die erste Ableitung machen muss usw.

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vielleicht hilft das:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion#.C3.9Cbersicht_.C3.BCber_Kriterien

Answer 2

die dritte Bedingung ist doch eher: \(p'(\frac{21}{4})=0\)

Man nimmt die Ableitung weil der höchste Punkt einen Extremwert (Maximum) darstellt - und was gilt bei Extremwerten? Die erste Ableitung verschwindet.

Comments

Gibt es irgendwo eine Seite wo diese Regeln stehen ? Also das beim Höchsten Punkt die erste Ableitung machen muss usw.

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Sinn dieser Aufgaben ist eigentlich, dass man sich Gedanken macht und das (bestenfalls) vorhandene Wissen auf das konkrete Problem anwendet und nicht, dass man ein "Kochrezept" auswendig lernt.

Mir ist nicht bekannt, dass es einen Namen für diese "Regel" gibt. Der Aufgabentyp ist aber typisch und kommt immer wieder vor.

Alles, was man dazu wissen muss lässt sich unter dem Begriff Kurvendiskussion zusammenfassen.

Answer 3

Also ich weiß dass ich 3 Funktionen austellen muss.
p(0)=-0,5 p(21÷4)= 361÷160 und p'(21÷4)= 361÷160

p ' (21÷4) = 0

f ( x ) = a * x^2 + b * x + c
f ´( x ) = 2 * a * x + b

f ( 0 ) = -0.5 
f ( 0 ) = a * 0^2 + b * 0 + c = -0.5  => c = - 0.5

f ( x ) = a * x^2 + b * x - 0.5
f ´( x ) = 2 * a * x + b

f ( 21/4 ) = 361 / 160
f ´( 21/4 ) = 0

f ( 21/4 ) = a * (21/4)^2 + b * (21/4) - 0.5 = (361 / 160 )
f ´( 21/4 ) = 2 * a * (21/4) + b = 0

a * (21/4)^2 + b * (21/4) - 0.5 = (361 / 160 )
2 * a * (21/4) + b = 0

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
Müßte lösbar sein.

Comments

a = -0.1
b = 1.05

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Ich sehe gerade da habe ich ein bißchen zu viel
gemacht.

Am höchsten Punkt hat die 1.Ableitung immer den
Wert 0. Siehe rot markiertes.

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Gibt es irgendwo eine Seite wo diese Regeln stehen ? Also das beim Höchsten Punkt die erste Ableitung machen muss usw.

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Das Ganze nennt sich Kurvendiskussion mit
Bestimmung von
-  Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
- Definitions und Wertebereich
- eventuell Polstellen
- Extrempunkte, Sattelpunkte, Wendepunkte usw

Das Ganze müßte in deinem Mathebuch stehen.