Lineares 4x4-Gleichungssystem 4x4 mit Gauss und (wenn möglich) Cramer ...

Question

bitte um einen Lösungsvorschlag

$$\begin{aligned} 2 &x_{1}&-&3 x_{2}&-2 &x_{3}&+&4 x_{4} &= &7 \\ &x_{1}&+&x_{2}&+&x_{3}&+&x_{4} &=&7 \\ \frac{1}{2} &x_{1}&+&x_{2}&+\frac{3}{2} &x_{3}&-&\frac{1}{2} x_{4} &=&3 \\ 3 &x_{1}&-&x_{2}&+&x_{3}&+&2 x_{4} &=&10 \end{aligned}$$

EDIT(Kopie aus Kommentar): mit dem gaussschen Algorithmus und(wenn möglich) mit der cramerschen Regel

Comments

mit dem gaussschen Algorithmus und(wenn möglich) mit der cramerschen Regel

Answer 1

Gaussverfahren  ( siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren#Beispiel )

gibt  (1 ; 1 ; 2 ; 3 ).

Comments

danke schön, wie funktioniert das mit der cramerschen Regel ?

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wie bist den so schnell auf die Lösung gekommen?

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ich bekomme das irgendwie nicht hin;(

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Wieso möchtest du das denn unbedingt mit der Cramerschen Regel machen? Der Rechenaufwand ist doch im Vergleich zum Gauß-Verfahren um ein Vielfaches höher!

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ICH MÖCHTE BEIDE VARIanten mal probieren. einfach normal für mich

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An welcher Stelle hakt es denn? Am Aufstellen der Quotienten oder an der Bestimmung der Determinanten?

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wie bist du den so schnell auf die Lösung gekommen?

z.B hier mit:

https://www.wolframalpha.com/

;)

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verstehe nicht wie man die Determinanten aufstellt zb für D=- 3! Allgemein für die Determinanten

wie muss ich das rechnen?

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Dann mach dir mal die Mühe und tippe die erweiterte Koeffizientenmatrix ab, damit die Daten mal in einer verarbeitbaren Form zur Verfügung stehen!

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weiss gar nicht wie ich das bei wolframalpha dort eingeben muss. gibt es dort ein Untermenü

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Nenne die Variabeln so, wie es dir gefällt (z.B. y,x,z,u ) und schreibe sorgfältig ab.

Beispiel für ein 2x2 - Gleichungssystem

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x+%2B+3y+%3D+8,+x-+7y+%3D+5 

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Die erweiterte Matrix ist in diesem Falle

2       -3   -2        4         7
1        1    1        1          7
1/2     1    3/2    -1/2      3
3       -1     1       2         10

Jetzt nimmst du am besten erst mal die 3. Zeile mal 2

und tauschst die ersten beiden ,   gibt

1        1    1        1          7
2       -3   -2        4         7
1        2     3      -1         6
3       -1     1       2         10

und jetzt die erste  Spalte so einrichten, dass dort

1
0
0
0

steht, dazu 
2. Zeile minuns 2* 1. Zeile und
3. Zeile minus 1. Zeile
4. Zeile minus 3* 1. Zeile , das gibt

1        1       1        1          7
0        -5     -4       2          -7
0         1      2       -2         -1
0        -4     -2      -1         -11

und jetzt 2. und 3. tauschen (damit an der Pos 2,2 eine 1 steht,

das isz günstig zum Rechnen )

1        1       1        1          7
0         1      2       -2         -1
0        -5     -4       2          -7
0        -4     -2      -1         -11

und dann 5*2.Zeile zur 3. addieren und
4* 2.Zeile zur 4. addieren gibt

1        1       1        1          7
0         1      2       -2         -1
0         0      6        -8         -12
0         0      6        -9         -15


Jetzt noch die 4. minus die 3. Zeile gibt:


1        1       1        1          7
0         1      2       -2         -1
0         0      6        -8         -12
0         0      0        -1         -3


und du hast Stufenform.


Dann von unten nach oben die Gleichungen auflösen:

Die letzte ist ja   -1*x₄ = -3 also  x₄ = 3.


Einsetzen in die vorletzte gibt


           6x₃ -8*3 = -12

              gibt x₃ = 2 etc.

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da wäre ich doch nie drauf gekommen. kenn nur die normale matrix. die erweiterte klingt sehr kompliziert

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Die erweiterte entsteht dadurch, dass in der "normalen" noch die

"rechte Seite" der Gleichungen als Spalte angehängt wird.

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mit den Determinanten lösen ist mir immer noch nicht so richtig klar

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Das ist aber ohne Hilfsmittel eine enorme Rechnerei.

Du brauchst erst mal die Determinante von


2       -3   -2        4         
1        1    1        1         
1/2     1    3/2    -1/2     
3       -1     1       2

und die nennst du vielleicht D.

Dann sagt mein Rechner D= -3

Dann die erste Spalte durch die

"rechten Seiten " der Gleichungen ersetzen, das gibt 


7       -3   -2        4        
7        1    1        1         
3       1    3/2    -1/2     
10      -1     1       2

und die Determinante heißt dann meistens D_x1   und

das gibt hier D_x1 = -3 .   Und dann ist immer

x₁ = D_x1 /  D  also hier ( wie bekannt ) = 1

Dann ersetzt du die 2. Spalte von D  durch die

"rechten Seiten " der Gleichungen und bekommst so

die Determinante D_x2 und kannst dann x₂ = D_x2 / D

ausrechnen, etc.

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wie rechne ich denn erstmal D aus, also die -3, ohne Taschenrechner? war das ich  diagonal rechnen, oder?