Stochastik - Kombinatorik. Urnenmodell: begründen, dass p = (1- 1/a)^a ist

Question

Ich habe eine Frage aus der Stochastik, die mir Kopfzerbrechen bereitet. Könnte mir eventuell jemand bei folgender Aufgabe helfen: a Kugeln werden zufällig auf a Urnen verteilt. Die Wahrscheinlichkeit in einer zufällig gewählten Urne keine Kugeln zu finden, soll p sein. Es gilt zu begründen, dass p = (1- 1/a)^a ist

Kugeln auf Urnen zu verteilen gibt ja eigentlich (n+k-1 über k) Möglichkeiten, habe das mit n = k = a = 3 und 4 versucht, aber das stimmt dann mit p = (1-(1/a))^a nicht überein

für a = 3 klappt es, wenn man n^k mögliche Verteilungen der Kugeln auf die Urnen betrachtet, also die Reihenfolge betrachtet (was zugegeben keinen Sinn macht), also 27, wobei es 3 Möglichkeiten gibt, dass alle Kugeln in einer Urne sind => 3/27, 6 Möglichkeiten, dass alle Urnen genau eine Kugel haben, also 6/27, somit bleiben 18 Möglichkeiten, dass die Kugeln sich auf zwei Urnen verteilen, folglich eine leer ist. p für 2 leere wäre 2/3, bei 3 Möglichkeiten von 27 ergibt das 2/3 * 3/27; p für eine Leere wäre 1/3, bei 18 Möglichkeiten 1/3 * 18/27. Zusammen 2/3 * 3/27 + 1/3 * 18/27 = 8/27 = (1-1/a)^a = (1- 1/3)^3 = (2/3)^3 = 8/27
Komme nicht auf eine allgemeine Rechenvorschrift, mit der ich p herleiten kann
Wäre sehr dankbar für eine Lösung, grübele da schon länger dran :S

Answer 1

Vor dir stehen a Urnen und du bekommst a Kugeln in die Hand. Du suchst dir jetzt eine Urne aus. Nimm man die 1. Urne, weil sie am Dichtesten bei dir steht. Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, das die 1. Urne bei der Verteilung deiner a Kugeln zufällig keine Kugel abbekommt.

Du hast a Urnen und in eine darfst du nichts zun. also darfst du in a - 1 etwas tun. Die Wahrscheinlichkeit das die erste Kugel in eine Urne kommt in die du etwas tun darfst ist (a - 1) / a oder auch 1 - 1/a. Die Wahrscheinlichkeit ist für die 2., 3., ... und auch a. Kugel ebenso groß. Daher rechnet man nach der Pfadregel.

p = (1 - 1/a)^a

So verstanden?

Comments

Zunächst einmal vielen Dank für deine Hilfe, leider hakt es bei mir noch irgendwie.

Den Ansatz habe ich soweit verstanden, aber wo ist dann bei folgendem Ansatz der Denkfehler?

Wenn ich 3 Kugeln auf 3 Urnen verteile, bekomme ich folgende Möglichkeiten: (die Zahlen stehen für die Anzahl Kugeln, die Position für die Urne, Bsp.: 3 0 0 -> 3 Kugeln in Urne 1, 0 in Urne 2 und 3)

3 0 0

2 1 0

2 0 1

1 2 0

1 1 1

1 0 2

0 3 0

0 2 1

0 1 2

0 0 3

Im ersten Fall ist die Wahrscheinlichkeit keine Kugel zu greifen 2/3, genauso im 7. und 10. Fall. Also schon mal 2/3 * 3/10.

In den Fällen, in denen eine Urne leer ist (2., 3., 4., 6., 8. und 9. Urne), ist die Wahrscheinlichkeit 1/3 keine Kugel zu erwischen, also 1/3 * 6/10.

Beide Wahrscheinlichkeiten zusammen ergeben 2/3 * 3/10 + 1/3 * 6/10 = 2/5, was nicht gleich (2/3)^3 entspricht. :-S

---

Ich glaube, jetzt habe ich es: Es ist ein Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum, ich habe angenommen, dass das Ergebnis 2 1 0 genauso wahrscheinlich ist wie 1 1 1, was gerade nicht der Fall ist. Danke noch mal :)

---

Ich hätte noch eine Frage, die sich an die vorherige anschließt. Ich hoffe, das ist in Ordnung.

Es heißt: Die Zufallsgröße Y beschreibt die Anzahl der Urnen, die keine Kugeln enthalten. Es wird behauptet: Y ist binomialverteilt mit n = a - 1 und der Wahrscheinlichkeit p. Untersuchen Sie für a = 3 die Gültigkeit dieser Aussage.

Ansatz: (n über k)*p^k*(1-p)^n-k für n = k = 3 ergibt das 1* p^3 * 1 = 2/3^3

wenn ich für n = a - 1 einsetze, erhalte ich für n = 2 raus und (2 über 3) geht ja nicht. 

Vielen Dank noch mal an alle, die sich um eine Antwort bemühen.

---

(2 über 3) geht natürlich nicht. Aber es geht auch nicht bei a = 3 Urnen das nach der Verteilung der Kugeln alle Urnen leer sind. Es kann nur 0 bis 2 Urnen danach leer sein. Und dafür soll die Binomialverteilung gelten.