Nullstellen - quadratische Funktionen - Funktionsform

Question

Aufgabe:

Berechne, wie weit Hanna wirft.

Ansatz Nullstellenberechnung:

\( \begin{aligned} 0 &=-\frac{8}{225} x^{2}+x+2 \\ &=x^{2}-\frac{225}{8} x-\frac{225}{4} \\ x_{1} &=30 \wedge x_{2}=-1,875 \end{aligned} \)

Lösungsweg zum Bestimmen der beiden Nullstellen:

Die positive der beiden Nullstellen entspricht der Wurfweite. Demnach beträgt die Wurfweite von Hanna:

\( x=30 \mathrm{~m} \)

Ansatz/Problem:

Es handelt sich um die Funktionsgleichung: y= -8/225·x^2 + x + 21. Welche Form der quadratischen Funktionen ist es? Die allgemeine Form: f(x)= x^2+px+q? Oder eine andere, denn irgendwie ist diese hier verwirrend?

Wie berechne ich hier die Nullstellen, wenn ich f(x) bzw. y = 0 setze? Also ohne irgendeine Formel zu verwenden?

Answer 1

Hallo ie,

> Und zwar handelt es sich um die Funktionsgleichung:  y= -8/225 x² + x + 21. Welche Form der quadratischen Funktionen ist es? 

  y = ax² + bx + c    nennt man meist "allgemeine Form".

> Wie berechne ich hier die Nullstellen, wenn ich f(x) bzw. y = 0 setzte ? Also ohne irgendeine Formel zu verwenden? 

 -8/225 x² + x + 21 = 0           | *  (-225/8) 

   [ Normalform x² + px + q = 0 herstellen ]  

x² - 225/8 x  - 4725/8 = 0      | + 4725/8 

x² - 225/8 x =  4725/8 

    quadratische Ergänzung addieren:   [ = (Hälfte des Faktors bei x)² ]

 x² - 225/8 x + (225/16)²  =  4725/8 + 50625 / 256  

    links 2, binomische Formel anwenden, rechts gleichnamig machen und addieren:

( x - 225/16 )²  = 201825 / 256    |  √  

 x - 225/16  =  ±  √201825 / 16

x_1,2  =  225/16  ±  √201825 / 16  

Gruß Wolfgang

Answer 2

Welche Form hast du?

Du hast die Allgemeine Form vorliegen, untenstehend siehst du den Zusammenahng:

Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
Deine Funktion:    f(x) = -8/225x² + 1x + 2

a: -8/225
b: 1 (wenn for dem x nichts steht ist es eine 1)
c: 2

Siehst du den Zusammenhang zwischen deiner Funktion und der Allgemeinen Form einer Quadratischen Gleichung?

Es gäbe auch noch zum Beispiel die Scheitelpunktform: f(x) = a(x - d)²+ e
deine Form ist allerdings die obige allgmeine Form.



Wie berechnest du die Nullstellen ?

Ich nehme an du arbeitest mit der PQ-Formel.

f(x) = 0 
0 = -8/225*x² + 1x + 2 I *(225) um den Bruch zu eliminieren
(225)*0 = (225)*-8/225*x² + (225)*1x + (225)*2 
0 = -8x² + 225x + 450 I Jetzt ist der Bruch eliminiert.

Du hast jetzt: 0 = -8x² + 225x + 450
Du brauchst: 0 = x² + px + q

Damit du die PQ-Formel anwenden kannst musst du die Funktion auf die Form bringen: 0 = x² + px + q
Es soll vor dem x² nichts stehen wenn du per PQ-Formel die Nullstellen herausfinden willst, also machst du auf beide Seiten dividiert durch -8.

0 = -8x² + 225x + 450 I :(-8) damit das x^{2} keine Vorzahl hat bzw. die 1 als Vorzahl.
0 = x² - 28,125x - 56,25
0 = x² + px + q

Nun kannst du p = -28,125 und q = -56,25 in die Pq-Formel einsetzen und du erhältst als Resultat
x₁= 30 und x₂= -1.875

$${ x }_{ 1,2 }\quad =\quad -\frac { p }{ 2 } \quad \pm \quad \sqrt { \left( \frac { p }{ 2 }  \right) ^{ 2 }-\quad q } \\ \\ { x }_{ 1,2 }\quad =-\frac { -28.125 }{ 2 } \pm \sqrt { \left( \frac { -28.125 }{ 2 }  \right) ^{ 2 }-\quad (-56.25) } \\ =\quad \frac { 28.125 }{ 2 } \pm \sqrt { \left( \frac { 791.015625 }{ 4 }  \right) +56.25 } \\ \\ =\quad 14.0625\pm \sqrt { \left( 197.75390625 \right) +56.25 } \\ =\quad 14.0625\pm \sqrt { 254.00390625 } \\ \\ =\quad 14.0625\pm 15.9375\\ { x }_{ 1 }\quad =\quad 14.0625-15.9375\quad =\quad -1.875\\ { x }_{ 2 }\quad =\quad 14.0625+15.9375\quad =\quad 30$$


~plot~ -8/225x^2 + x + 2;[[70]] ~plot~

Comments

Ich nehme an du arbeitest mit der PQ-Formel.

Das habe ich nicht angenommen:

Wie berechne ich hier die Nullstellen, wenn ich f(x) bzw. y = 0 setzte ? Also ohne irgendeine Formel zu verwenden?

---

Ich ging davon aus, dass diese Aufgabe mit einer Formel ausgerechnet wird, weil im Fragetext die allgemeine Form und Normalform erwähnt wurden und ich im ersten Schritt die allgemeine Form mithilfe seiner Funktion erklärte und danach die Lösung der Nullgesetzten Funktion per PQ-Formel.

---

Ok, ich hab mich getäuscht, mein Lösungsvorschlag gibt an wie man die Lösung mithilfe der PQ-Formel lösen kann, dies war aber nicht gefragt.

Answer 3

Es handelt sich um eine Parabel, die wegen des Minuszeichens vor x² nach unten geöffnet ist (s. Abbildung zur Deiner Funktion).

~plot~ -8/225*x^2+x+21;[[70]] ~plot~

Answer 4

Eine quadratische Funktion / Funktion 2.Grades liegt
vor bei

f ( x ) = a * x^2 + b * x + c

Diese Funktion wird meist " allgemeine Form " genannt
Der Graph ist eine Parabel.

Die Nullstellen der Gleichung
a * x^2 + b * x + c = 0
können mit der Mitternachtsformel berechnet werden.

Ist der Faktor a = 1 spricht man von der Normalform
f ( x ) = x^2 + b * x + c

Die Nullsten einer Gleichung
x^2 + b * x + c = 0
können mit der pq-Formel oder der
quadratischen Ergänzung berechnet werden.

Die Gleichung
a * x^2 + b * x + c = 0

kann durch Multiplikation mit
a * x^2 + b * x + c = 0 | * 1 / a

in die Normalform umgewandelt werden.