Question

Ein Glasgefäß hat die Form einer Pyramide. Es ist 12 cm hoch. Das Gefäß wird mit der Spitze nach unten bis zu einer Höhe von 8 cm mit Wasser gefühlt. Dann wir das Gefäß mit abgedeckter Grundfläche umgedreht. Berechnen Sie, wie hoch das Wasser nun steht.

Bermkung: Benutzen Sie Variablen V für das Volumen der ganzen Pyramide, V_w für das Volumen des Wassers und V_L für das Volumen der Luft.

Comments

schau nochmal in die eigentliche Aufgabenstellung , da fehlt die Angabe der Grundseite, und ob  es eine quadratische Pyramide ist?

---

nein, die grundseite ist unbekannt, mann muss allgemein betrachten

---

Eigentlich kannst Du die Aufgabe direkt zurückgeben.

Wenn ich mich nicht vertue ist die absolut schlecht gestellt!

1. Fehlt die Angabe um was für eine Pyramide es sich handelt -> Vermutlich eine quadratische.

2. Fehlt da auch die Angabe bzgl der Grundkante.

 

:(

 

^{(Ich hoffe zumindest nichts übersehen zu haben, wo ich den Autor des Arbeitsblatts so angehe^^)}

---

Wenn man nicht weiß wie es funktioniert, dann ist das in der Tat etwas knifflig. Zum Glück lässt sich hier etwas über die Ähnlichkeit der Pyramiden machen.

Ich hoffe man keinen Lösungsansatz als Idee nachvollziehen. Für die Richtigkeit der Rechnung übernehme ich aber keine Garantie. Ich verrechne mich ja ganz gerne mal, alleine damit der Fragesteller alles nochmal genau durchrechnet.

Answer 1

Das gesamte Volumen der Pyramide sei V

Fülle ich nur 8/12 von der Spitze an habe ich das (8/12)^3 = 8/27 des Volumens der Pyramide gefüllt.

Drehe ich jetzt die Pyramide um beträgt das Volumen der Luft von der Spitze an und 27/27 - 8/27 = 19/27

Dieser Anteil ergibt (19/27)^{1/3} = 0.8894672162

Das ist also eine Höhe von 12 * 0.8894672162 = 10.67360659

Damit steht das Wasser jetzt 12 - 10.67360659 = 1.326393410 cm hoch.

Comments

Hm, die Pyramide ist doch kein Würfel.

---

Beim Würfel wäre das auch noch einfacher. Drehe ich den um steht das Wasser auch 8 cm hoch.

---

Kann sein. Aber der Ansatz mit der dritten Potenz bei der Höhe erscheint mir ein bisschen fragwürdig.

---

Die Pyramiden sind ähnlich zueinander. Das heißt wenn ich 8/12 = 2/3 der Längen nehme erhalte ich 4/9 der Flächen und 8/27 des Volumens. Alleine das die Pyramide in alle 3 Dimensionen auf 2/3 reduziert wird. Also nicht nur in der Höhe sondern auch in der Tiefe und in der Breite.

---

Ja, das mit der Ähnlichkeit ist ein gutes Argument.

---

Dieses Ähnlichkeitsargument klärt auch die Frage nach der Grundfläche, die in Form und Größe tatsächlich keine Rolle spielt.

---

Der Fragesteller könnte das ja mal an einer quadratischen Pyramide mit der Grundseitenlänge 12 cm und der Höhe 12 cm nachrechnen. Vielleicht stellt sich dann auch heraus das ich verkehrt lag. Aber so Pi mal Daumen müsste das eigentlich hinkommen.

Allerdings erscheinen mir die ca. 1.3 cm fast etwas wenig.
Daher wäre das ja eine gute Möglichkeit für den Fragesteller dieses mal anhand eines Beispiels nachzurechnen.

---

Die Höhe spielt hier die Rolle wie der Radius bei der Kugel oder der Durchmesser beim Würfel. Man müsste bei der Kugel aber dann sagen, dass das Wasser zuerst vom Mittelpunkt angezogen wird. Danach "dreht man die Kugel um", sprich, das Wasser wird nun von der Mantelfläche angezogen. Stellt euch das mal vor :)

Beim Würfel müsste das Wasser zuerst in Form eines Würfels gebunden sein (und sich in einer Ecke sammeln), um dann später in Form des Kompliments eines Würfels bezüglich des Hauptwürfels zu sein. Ihr könnt mir folgen?

---

Ja. Ich hatte mal so eine ähnliche Aufgabe mit einem Kegelförmigen Sektglas. Das würde bis zur hälfte mit Sekt gefüllt. Und dann wird ein Bierdeckel drauf gelegt und umgedreht. Vorher sollte man schätzen wie hoch dann der Sekt im Glas steht.
es gab tatsächlich einige die meinten der Sekt füllt dann immer noch die Hälfte des Glases.

Allerdings bedeutet ein Halb gefülltes Sektglas nur ein Achtes des Volumens. Das heißt 7/8 sind dann Luft.

Dreht man es um füllt die Luft (7/8)^{1/3} = 0.956 = 95.6%

Bleibt für den Sekt also nur ca. 4.4% der Höhe übrig.
Mit der Kugel kam sowas mal in einem Test dran. Allerdings nur in der Frage wie viele Kunststoffbälle man mit dem Durchmesser 2 cm aus einem großen Kunststoffball mit dem Durchmesser 8 cm gießen könnte. Dabei sollte es sich um Vollkunststoffbälle handeln und kein Material verloren gehen.

---

Wie so'ne Material-Zwiebel?

---

Aus nach außen hin dünner werdenden Schalen.