Das totale Differential beschreibt wie sich der Funktionswert einer mehrdimensionalen Funktion an einem Punkt (x,y) (bzw. allgemein (x1,.. ,xn)$ für kleine Änderungen der Variablen verhält: $$df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}dx_i$$
Wir haben die Funktion $$f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1}2\sqrt{x^3}\sinh (x)$$
Um das totale Differential zu bestimmen, bilden wir zuerst die partiellen Ableitungen:
\begin{aligned}&\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{1}{x^2+y^2+1}2\sqrt{x^3}\sinh (x)\right) \\ &\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{1}{x^2+y^2+1}2\sqrt{x^3}\sinh (x)\right)\end{aligned}
Zu beiden Ableitungen fügen wir nun jeweils die Terme dx bzw. dy hinzu: \begin{aligned}&\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right) dx \\ &\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)dy\end{aligned} und addieren diese Werte dann auf zum totalen Differential: \begin{equation*}df=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} dx+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy\end{equation*}
