Ungleichung mit Taylorentwicklung von log(x) um 1 beweisen

Question

 ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen in dem an einer Stelle die Ungleichung

1/log(1-x)>=1/2-1/x

verwendet wird. Für das x gilt allgemein 0<x<1.

Diese möchte ich nun beweisen. Dort ist angegeben man erhält die Ungleichung mit der Taylorentwicklung von log(x) um den Punkt 1.

Nun habe ich schon viel herumprobiert und bekomme nichts heraus was annähernd an die obige Ungleichung herankommt.

Hat jemand einen guten Ansatz?

Comments

Der dort vorgeschlagene Ansatz ist wohl hier zu finden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Als_Potenzreihe  (?) 

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Und wie kann ich diesen Ansatz dann auf obige Ungleichung übertragen?

Ich erhalte

log(x)=(x-1)-1/2(x-1)^2+R(x)

nach meinen Umformungen müsste ich aber zeigen

log(x)<=1/(1/2-1/(1-x))

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und mit der Potenzreihe kann ich nur ln(x+1) abschätzen. Ich muss aber ln(x-1), bzw. mit dem Hinweis ln(x), abschätzen.

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Danke für die Antwort ich verstehe die letzte Gleichung nicht und ich brauche 1/2 statt 1/(x+2)

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Fehlt bei der Reihe nicht noch ein (-1)^k?

So zeigst du genau das Gegenteil von dem was ich brauche, also stimmt die Ungleichung, die zu zeigen ist gar nicht??

Ich habe jetzt mal den letzten Ansatz genutzt und selbst gerechnet:

$$ln(1-x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k}x^k\\(\frac12-\frac1x)ln(1-x)=\frac12\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k}x^k-\frac1x\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k}x^k\\=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k}x^k\quad+1-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}x^k\\=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k(3k+1)}{2k(k+1)}x^k<1$$

ist das so richtig? ich bin mir ziemlich sicher dass die letzte summe <0 ist aber weiß nicht wie ich das schön aufschreiben kann

Answer 1

Vielleicht so: Für \(0< x<1\) gilt$$\quad\left(\frac12-\frac1x\right)\log(1-x)=\left(\frac1x-\frac12\right)\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}k=\frac1x\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}k-\frac12\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}k$$$$=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^{k-1}}k-\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{2k}=1+\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k+1}-\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{2k}=1+\sum_{k=1}^\infty\frac{k-1}{2k(k+1)}x^k>1.$$

Comments

Fehlt bei der Reihe nicht noch ein (-1)^k?

So zeigst du genau das Gegenteil von dem was ich brauche, also stimmt die Ungleichung, die zu zeigen ist gar nicht??

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Soweit mir bekannt lautet die Reihe \(\log(1-x)=-\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{x^k}k\).
Für \(0< x<1\) ist \(\log(1-x)\) negativ, daher dreht sich das Ungleichheitszeichen nach Division durch letzteren Term um.$$\left(\frac12-\frac1x\right)\log(1-x)>1\Longleftrightarrow\frac12-\frac1x<\frac1{\log(1-x)}.$$

Answer 2

$$ log(1-x)=-x-x^2/2+O(x^3)\\0 < x < 1 : \\log(1-x)<=-x-x^2/2=x(-1-x/2)\\\frac { 1 }{ log(1-x) }>=\frac { 1 }{ x(-1-x/2) }=\frac { 1 }{ x+2 }-\frac { 1 }{ x }$$

Comments

ok die letzte Gleichung sehe ich ein aber das kann ich nur mit <1/2-1/x abschätzen  :(