Rechnen in Orthogonalen Gruppen

Question

hatte eben Vorlesung und verstehe einige Rechenschritte nicht so ganz.

Dass bei einer Isometrie d(f(x),f(y))=d(x,y) gelten muss, ist mir klar. Aber woher kommen diese seltsamen Rechnungen im Beweis??

LG

Answer 1

Es ist ja F _A,b(x)  = Ax+b und entsprechend  F _A,b(y)  = Ay+b

Dann ist der Abstand:

|| Ax+b  - (Ay+b) ||  = || A * (x-y) ||

= √  ( < A * (x-y) , A * (x-y) >  )

= √  ( < A^t *A * (x-y) ,  (x-y) >  )   da A ∈ O(n)

= √  ( < (x-y) ,  (x-y) >  )  

= d ( x,y)

Answer 2

Der erste Schritt im Beweis ist die Definition der Metrik durch eine Norm.

Der zweite Schritt ist, dass die Norm durch das Skalarprodukt definiert ist.

Und der dritte Schritt benutzt die Verschiebungseigenschaft des Skalarprodukts siehe hier

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Standardskalarprodukt#Verschiebungseigenschaft

Und zum Schluss ist \( A \)  eine orthogonale Matrix, hat also die Eigenschaft \( A^T A = I \)