Ist gut, dass du es selber probierst.
Die zweite Zeile reicht eigentlich schon aus, mit einem Hinweis aus Aufgabenteilung a). Das was du in der dritten Zeile geschrieben hast mit dem Produkt der beiden Reihen stimmt nicht, weil beim Multiplizieren zweier Reihen ja auch Mischterme entstehen.
Ich würde es so aufschreiben (ich lasse bei dem u und dem v dem Index n mal weg, geht gerade blöd bei mir ;) )
∑ (n=1 bis ∞) √uv<=∑ (n=1 bis ∞) 1/2(u+v)
(wegen Teil a))
=1/2∑ (n=1 bis ∞) (u+v)
=1/2[∑ (n=1 bis ∞) u +∑ (n=1 bis ∞) v]
Der letzte Ausdruck konvergiert , da die Summen über u und v nach Aufgabenvoraussetzung konvergieren.
Damit hat man eine konvergente Majorante zu ∑ (n=1 bis ∞) √uv gefunden und diese Reihe konvergiert somit.
