$$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n ! } { n ^ { n } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { 1 \cdot 2 \cdot \ldots ( n - 1 ) \cdot n } { n \cdot n \cdot \ldots \cdot n } \right) = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { 1 } { n } \cdot \frac { 2 } { n } \cdot \ldots \frac { n - 1 } { n } \cdot \frac { n } { n } \right) \leq \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { 1 } { n } \cdot \left( \frac { n } { n } \right) ^ { n - 1 } \right) = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { 1 } { n } \cdot 1 ^ { n - 1 } \right) = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { 1 } { n } \right) = 0 $$
Die Abschätzung nach oben erfolgt dadurch, dass man alle Zahlen im Zähler zu einem n macht. Dadurch werden diese Zahlen alle größer, also wird der Zähler größer, also wird der ganze Ausdruck größer.
Insgesamt ist der Anfangsgrenzwert also kleiner oder gleich 0.
Da die Fakultät aber nur für positive Zahlen definiert ist, kann das, was herauskommt auch nur eine positive Zahl sein.
Der Grenzwert ist also null.
