Beweis. durch vollständige Induktion über \( r \). Für \( r=1 \) ist die Behauptung richtig, da \( v_{1} \neq 0 \) linear unabhängig ist. Sei nun die Behauptung gültig für \( k \) Eigenvektoren \( v_{1}, \ldots, v_{k} . \) Wir zeigen die Behauptung für \( r=k+1 . \) Seien dazu \( v_{1}, \ldots, v_{k+1} \) Eigenvektoren zu den paarweise verschiedenen Eigenwerten \( \lambda_{1}, \) bis \( \lambda_{k+1} . \) Angenommen \( \alpha_{1} v_{1}+\cdots+\alpha_{k+1} v_{k+1}=0 . \) Durch Multiplikation mit \( \lambda_{k+1} \) bzw. durch Anwenden von \( T \) erhält man die beiden Gleichungen:
\[
\alpha_{1} \lambda_{k+1}+\cdots+\alpha_{k+1} \lambda_{k+1} v_{k+1}=0, \alpha_{1} \lambda_{1} v_{1}+\alpha_{2} \lambda_{2} v_{2}+\cdots+\alpha_{k+1} \lambda_{k+1} v_{k+1} = 0
\]
Durch Subtraktion folgt daraus die Gleichung
\[
\alpha_{1}\left(\lambda_{1}-\lambda_{k+1}\right) v_{1}+\cdots+\alpha_{k}\left(\lambda_{k}-\lambda_{k+1}\right) v_{k}=0
\]
die \( v_{k+1} \) gar nicht mehr enthält. Nach Induktionsvoraussetzung sind aber die \( v_{1}, \ldots, v_{k} \) linear unabhängig, also
\[
\alpha_{1}\left(\lambda_{1}-\lambda_{k+1}\right)=\dots=\alpha_{k}\left(\lambda_{k}-\lambda_{k+1}\right)=0
\]
Da die Eigenwerte aber paarweise verschieden vorausgesetzt waren folgt hieraus \( \alpha_{1}=\cdots= \)
\( \alpha_{k}=0, \) also auch \( \alpha_{k+1} v_{k+1}=0 \) und somit \(a_{k+1} = 0\).
