ab<=a²+b² Beweis oder Gegenbeispiel?

Question

ab≤a²+b²

Gilt das für alle reellen Zahlen? Mir fällt zumindest kein Gegenbeispiel ein, auf einen Beweis komme ich aber auch nicht..

verstehe nicht ganz wie ich das zeigen soll... habe versucht es durch a²>a und b²>b zu zeigen und versucht daraus zu folgern, dass a²+b²>=ab ist aber weiß nicht ob das richtig ist?

Comments

Vielleicht erkennst du selbst, wie man den Beweis führen muss, aus der ähnlichen Frage: a²+b²>=2ab, wie soll man es beweisen?

Answer 1

Man kann hier nicht direkt die binomische Formel anwenden!
Aber:
ab ≤ a²+b²  |-2ab

-ab ≤ a²-2ab+b²

-ab ≤ (a-b)²

Falls a und b beide positiv oder beide negativ sind, ist die Aussage richtig, denn dann steht links eine negative Zahl und rechts eine positive.

Ist allerdings nur eine der beiden Zahlen negativ, so erkennt man die Richtigkeit der Aussage bereits an der Anfangsgleichung: dann steht nämlich auf der linken Seite eine negative Zahl und auf der rechten Seite die Summe zweier Quadrate, also eine positive Zahl, die zwangsläufig größer als die negative Zahl ist.