Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Bsp. e) ∀n ∈ℕ ∀x ∈ℝ: (x-1) ∑_(k=0)^{n-1} x^k = x^n -1

Question

Beweisen Sie die folgenden Aussagen durch vollständige Induktion:

                   n
a) ∀n ∈ℕ: ∑ (-1)^k k² = (-1)ⁿ n(n+1)/2
                  k=1

                   n
b) ∀n ∈ℕ: ∑  3 *2^k-1 =3(2ⁿ-1)
             k=1

                n
c)  ∀n ∈ℕ: ∑  1/k(k+1) = n/(n+1)
              k=1


d) ∀n ≥ 4: n! > 2ⁿ

                                n-1
e) ∀n ∈ℕ ∀x ∈ℝ: (x-1) ∑  x^k = xⁿ -1
                                k=0

Hinweis: Es gilt x⁰ = 1 für alle x∈ℝ. (0⁰ =1 ist eine sinnvolle Konvention.)

Comments

EDIT: Bitte keine ganzen Aufgabensammlungen. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

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d) Einen Anfang für  findest du hier: https://www.mathelounge.de/347760/vollstandige-induktion-ungleichung-mit-fakultat-fur-zeigen

e) ist eigentlich das hier: https://www.mathelounge.de/420884/vollstandige-induktion-%E2%88%91_-k-1-n-x-n-k-y-k-1-x-n-y-n-x-y

b) folgt aus e) Daher kannst du b) beinahe gleich beantworten wie e)

Answer 1

                   n
a) ∀n ∈ℕ: ∑ (-1)^k k² = (-1)ⁿ n(n+1)/2
                  k=1

erst mal für n=1 prüfen:   Stimmt.

Dann die Summe , die bis n+1 geht auf n zurückführen etwa so 

     n+1                                                                             n
a)  ∑ (-1)^k k² = (-1)ⁿ n(n+1)/2    =   (-1)ⁿ⁺¹*(n+1)²  +     ∑ (-1)^k k² = (-1)ⁿ n(n+1)/2   
     k=1                                                                             k=1 


                                               n 
 =  (-1)ⁿ⁺¹*(n²+2n + 1)  +       ∑ (-1)^k k² = (-1)ⁿ n(n+1)/2
                                              k=1

dann die Ind.vor. verwenden:

 =  (-1)ⁿ⁺¹*(n²+2n + 1)  +   (-1)ⁿ n(n+1)/2

=  (-1)ⁿ⁺¹*(n²+2n + 1) -   (-1)ⁿ⁺¹ n(n+1)/2

=    (-1)ⁿ⁺¹*    (n²+2n + 1) -  n² / 2 - n/2  )

=   (-1)ⁿ⁺¹*     1)  * (  n² / 2 - 3n/2  + 1  )

=    (-1)ⁿ⁺¹*     1)  * (  n  + 1  )*(n+2) / 2      Bingo ! 

Comments

Wie kommt du von +(-1)^n+1 auf -  (-1)^n+1 und was wird aus (-1)^n+1 (Übergang Zeile 2-3))