Nullstellen bestimmen durch Entwicklung eines Taylor-Polynoms.

Question

Gesucht sind die Nullstellen der Funktion $$f(x)=\quad cos(x)-x-2x^{ 2 }$$ im Intervall [0,1].

Versuche diese durch eine Entwicklung der Funktion $$f(x)$$ in ein Taylor-Polynom zweiten Grades in der Umgebung um $${ x }_{ 0 }=0$$

zu ermitteln und eine Aussage über die Genauigkeit der so ermittelten Nullstellen zu machen !

Answer 1

Wenn Du machst, was da steht, erhaelst für \(x\in[0,1]\) z.B. die Naeherung $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+R\qquad\text{mit $0<R<\frac{1}{42}$}.$$ Das setzt Du für \(\cos x\) ein und loest die entstehende (quadratische) Gleichung. Als Nullstelle im Intervall \([0,1]\) kommt nur $$\xi=\frac{1}{5}\left(\sqrt{1+10(R+1)}-1\right)$$ infrage. Gib ein Intervall an, in dem \(\xi\) liegen muss.

Comments

$$f\left( x \right) =cos(x)-x-2x^{ 2 }\quad \quad im\quad [0,1]\quad \quad ;\quad wähle\quad { x }_{ 0 }=0.\\ f^{ I }\left( x \right) =-sin(x)-1-4x\\ f^{ II }\left( x \right) =-cos(x)-4\\ \\ f\left( 0 \right) =1,\quad f^{ I }\left( 0 \right) =-1,\quad f^{ II }\left( 0 \right) =-5\\ \\ cos(x)-x-2x^{ 2 }\approx \quad 1+(-1x)+(-\frac { 5 }{ 2 } { x }^{ 2 })=\quad { T }_{ 2 }(x)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Longleftrightarrow \quad -\frac { 5 }{ 2 } { x }^{ 2 }-x+1=0\quad |\quad :\left( -\frac { 5 }{ 2 }  \right) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Longleftrightarrow \quad { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 2 } x-\left( \frac { 5 }{ 2 }  \right) =0\quad |\quad p-q\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Longleftrightarrow \quad { x }_{ 1/2 }=\frac { 5 }{ 4 } \pm \sqrt { \left( -\frac { 5 }{ 4 }  \right) ^{ 2 }+\frac { 5 }{ 2 }  } \\ \\ \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Longleftrightarrow \quad { x }_{ 1 }=\quad \frac { 5+\sqrt { 65 }  }{ 4 } \approx 3,26...\quad { \rightarrow x }_{ 1 }\quad \notin \quad [0,1]\\ \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Longleftrightarrow \quad { x }_{ 2 }=\quad \frac { 5-\sqrt { 65 }  }{ 4 } \approx -0.76...!\quad \rightarrow { x }_{ 2 }\quad \notin \quad [0,1],\quad \quad ?!!\quad was\quad lief\quad hier\quad falsch???\quad Bitte\quad helfen.:)\\ $$

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und der Fehler bzw. die genauigkeit, wie gehe ich da ran ?

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:-)
der Ansatz ist in Ordnung, du hast lediglich einen Vorzeichenfehler bei der zweiten Äquivalenz, da muss es heißen: x^2 + 5/2x - 5/2 = 0.
Die Lösung liefert ein x = -1/5 + sqrt(11)/5 ≈ 0,463325 das ist die Nullstelle im betreffenden Intervall [0, 1].

Zur Genauigket der ermittelten Nullstelle kann man eine Restgliedabschätzung nach Lagrange machen.

f^{3}(x) = sin(x)
|sin(x)| <= K = 1, für alle reellen x.

|R_n,a(x)| <= 1/3! * |x-a|^{3}

Die Restgliedabschätzung in Abhängigkeit von x im Intervall 0 <= x <= 1 liefert |R_n,a(0)| <= |R_n,a(x)| <= |R_n,a(1)|
0,167 <= |R_n,a(x)| <= 0,167 also |R_n,a(x)| <= 0,167

Die Restgliedabschätzung bezieht sich auf den Funktionswert, nicht auf die Nullstelle.
Für die Abschätzung der Genauigkeit der Nullstelle könnte man den folgenden Ansatz machen:
−5/2*x^2 −x + 1 = 0 ± 0,167
und damit den Toleranzbereich[x_min, x_max] der Nullstelle ermitteln:

−5/2*x^2 −x + 1 = 0 ± 0,167

1) −5/2*x^2 −x + 1 = 0,167 -> x_min = 0,410901
2) −5/2*x^2 −x + 1 = -0,167 ->  x_max = 0,511899

Vielleicht noch zur Kontrolle: Es ist
cos(x)-x-2*x^2 = 0 für x ≈ 0,463902 und
−5/2*x^2 −x + 1 = 0 für x ≈ 0,463325

Die Nullstelle befindet sich also im abgeschätzten Bereich x_min <= 0,463325 <= x_max

Gruß

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danke vielmals, ich dachte es geht auch mit  Nullstelle in f'(x) einsetzen aber das ist in der Mathe-Übung auch bissl untergegangen.!

lagrange restglied hatten wir auch noch nicht in der VL ^^

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In f'(x) einsetzen?

Man kann einfach die Nullstellen von f(x) und T₂(x) verlgeichen und dann eine Aussage über die Genauigkeit machen.
cos(x)-x-2*x^2 = 0 -> x ≈ 0,463902
−5/2*x^2 −x + 1 = 0 ->  x ≈ 0,463325
0,463902 - 0,463325 = 0,000577 < 0,0006
Die Abweichung der Nullstelle ist < 6E-4

:-)

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gorgar kannst du eben noch bei dem ansatz nachsehen ?

https://www.mathelounge.de/447739/potenzreihen-mein-ansatz-einmal-druber-schauen