Hallo !
Ich weiß nicht wie man das mathematisch hübsch formuliert, aber im Grunde läuft es ungefähr so ab :
dx / dt = ln(t) / (t * x)
x * dx / dt = ln(t) / t
∫ ln(t) / t * dt = (1 / 2) * (ln(t)) ^ 2 + C
∫ x * dx = (1 / 2) * x ^ 2
Nun muss man sich fragen, was man tun müsste um (1 / 2) * x ^ 2 in x zu verwandeln :
Man müsste mal 2 nehmen und man müsste anschließend / danach die Wurzel ziehen.
Und das wendest du jetzt auf (1 / 2) * (ln(t)) ^ 2 + C an
2 * ((1 / 2) * (ln(t)) ^ 2 + C) = (n(t)) ^ 2 + 2 * C
2 * C kann man einfach wieder C nennen, also
(ln(t)) ^ 2 + C
Nun die Wurzel ziehen :
±√((ln(t)) ^ 2 + C)
Nun gilt :
x(t) = ±√((ln(t)) ^ 2 + C)
Das funktioniert mit allen Dingern der Form :
x´(t) = u(t) / (v(t) * x)
wobei u(t) und v(t) Funktionen von t sind.
Man muss immer das Integral von u(t) / v(t) * dt bilden / ermitteln, falls das existiert.
Danach das mal 2 nehmen und danach ±√(...) daraus bilden, dann hat man die Lösung für x(t)
Man könnte das √(2) auch ausklammern, wenn man wollen würde.
Danach nur noch die Konstante C so auswählen, dass dein Anfangswertproblem erfüllt ist.
Die Matheexperten hier können dir das bestimmt noch mathematisch sauberer erklären / formulieren, als ich das kann, warum das so ist.
