Nullstellenberechnen bei der Funktion: f(x)=15x^4-75x^2+60

Question

Ich versuche mir Mathe selber mit einen Buch beizubringen. Leider sind im Lösungsheft keine Rechenwege. Dadurch kann ich die Ergebnisse nicht nachvollziehen. Wie berechne ich den bei dieser Aufgabe die 4 Nullstellen?

0=15x⁴-75x²+60

Answer 1

Hi valeri,

arbeite mit der Substitution:

0=15x⁴-75x²+60    |x^2=z

0=15z²-75z+60      |:15

0=z^2-5z+4           |pq-Formel

z₁= 1 und z₂= 4

 

Resubstitution

x_1,2 = ±√1 = ±1

x_3,4 = ±√4 = ±2

 

Grüße

Comments

Okay das mit x²=Z verstehe ich jetzt. So habe ich 2 Nullstellen. Nur wie komme ich auf die anderen 2 Nullstellen?

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Du hast ja x^2 = z gesetzt. Nun hast Du für z zwei Ergebnisse. z₁=1 und z₂=4.

Resubstitiueren bedeutet jetzt wieder in x^2=z das nun bekannte z einzusetzen

x_1,2^2 = z₁ -> x_1,2 = ±√z₁ = ±√1 = ±1

 

Das gleiche mit

x_3,4^2 = z₂

 

Alles klar? :)

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Okay so weit Klar. Ich muss dann einfach die Wurzel nehmen. Aber wie mache ich das wenn die Funktion so ist:

f(x)=15x⁵-75x²+60

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Da hast Du Pech^^.

Da ist nichts zu machen. Also zumindest nicht mit der Substitution.

Eine Nullstelle würde sich eventuell erraten lassen. Dann kann man mit Polynomdivision fortfahren.


Aber spätestens dann würde man wohl nicht mehr mit akzeptablen Mitteln weiterkommen. Newtonverfahren oder ähnliches würde zum Einsatz kommen müssen ;).

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Okay danke erstmal . Dann hoffe ich dass ich nie auf so eine Aufgabe stoße.;)

Answer 2

Hi,

du substituierst zuerst z = x^2 und erhältst dann eine quadratische Gleichung in z, die du mit Hilfe der p-q-Formel lösen kannst. Dies führt zu zwei Nullstelen z_1 und z_2.

Die vier Nullstellen x_i ergeben sich dann aus:

x_1 = + wurzel(z_1)

x_2 = - wurzel(z_1)

x_3 = + wurzel(z_2)

x_4 = - wurzel(z_2)

MfG

Mister

Comments

Danke für die schnelle Antwort. aber ich verstehe nicht genau was mit (substituierst zuerst z = x²) gemeint ist. Ich glaube ich bin noch nicht so weit in Mathe. Kannst du mir das erklären oder gibt es einen anderen Rechenweg.

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Das soll heißen, dass deine Gleichung zu

15z^2 - 75 z + 60

wird. Du hast x^2 durch z und x^4 durch z^2 ersetzt.