(c) Eine Projektion \( P \) ist eine Matrix für die gilt \( P^2 = P \). Das gilt nur für die Matrix \( B \)
(d) Man sieht sofort das \( b_3 = 0 \) gelten muss, sonst gibt es keine Lösungen. Damit ergeben sich alle Lösungen von \( A x = b \) durch das folgende Gleichungssystem
$$ (1) \quad b_3 = 0 $$
$$ (2) \quad \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} $$
Da \( \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \ne 0 \) gilt , gibt es keine weiteren Einschränkungen an den Vektor \( b \)
(e) Die Lösungen sind nach (d) $$ b_3 = 0 $$ und $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} $$
