Welche der folgenden Tupel (X,d) sind metrische Räume?

Question

Ich weiß, wenn man metrische Räume nachweißen will gibt 3 Bedingungen.

1)  Positive Definitheit

2) Symmetrie

3) Dreiecksungleichung

Nun wie soll ich hier es anwenden?

Answer 1

Bei 1 also etwa


pos. Def:  Prüfe ob immer d(x,y) ≥ 0 gilt und d(x,y)=0 nur für x=y.


hier:
d(x,y) = | (x-y)*(x+y)|     

d(x,y) ≥ 0 klar wegen des Betrages

d(x,y) = 0  <==>   x-y = 0   oder   x+y = 0

Da x,y beide > 0 heißt das    x-y = 0

<=>    x = y .   Passt also.

ebenso Symmetrie beweisen und zur Dreiecksungleichung:

| (x-y)*(x+y)|     +    | (y-z)*(y+z)|     ≥  | (x-z)*(x+z)|

kannst du so vorgehen:


| (x-y)*(x+y)|     +    | (y-z)*(y+z)|     wegen Dreiecksungl. für | .... |

≥  (x-y)*(x+y)     +     (y-z)*(y+z)

=  x² + xy - xy - y²   +   y² + yz - yz - z²  

=  x²  - z²  

=   x²  +xz  -  xz  - z²  

=   | (x-z)*(x+z)|       Passt also !

Damit ist d eine Metrik für IR⁺ und das Paar ein metr. Raum.