Induktionsbeweis: Charakteristisches Polynom der Begleitmatrix des Polymoms p ist p selbst.

Question

Zeige, dass das charakteristische Polynom der Begleitmatrix des Polynoms p einfach p selber ist

Zu zeigen mit Hilfe von Induktion und durch die Berechnung der Determinante durch Entwicklung nach der ersten Zeile.  

Auf dem Bild ist zu sehen, was nur einer Begleitmatrix gemeint ist,

6.5 Allgemeine und Jordansche Normalform für Matrizen
Zu einem normierten Polynom \( p=T^{n}+\sum \limits_{i=0}^{n-1} c_{i} T^{i} \in K[T] \) vom Grad \( n \) nennt man die \( (n \times n) \) - Matrix
$$ A(p)=\left(\begin{array}{cccc} {0} & {} & {} &{} &{} &{-c_{0}} \\ {1} & {0} & {} &{} &{} & {-c_{1}} \\ {} & {1} & {} & {} & {} &{-c_{2}} \\ {} & {} & {} & {} & {\cdots} \\ {} & {} & {} & {} & {\cdots} \\ {} & {} & {} & {} & {0} & {-c_{n-2}} \\ {} & {} & {} & {} & {1} & {-c_{n-1}} \end{array}\right) $$
die Begleitmatrix zu \( p . \) Insbesondere gilt \( A(p)=\left(-c_{0}\right) \) für \( n=1 \)

Answer 1

Hi,

Ich zeige das mal an dem Beispiel \( n = 4 \). Das charakteristische Polynom lautet

$$  \det \left[ \begin{pmatrix}  \lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}  0 & 0 & 0 & -c_0 \\ 1 & 0 & 0 & -c_1 \\ 0 & 1 & 0 & -c_2 \\ 0 & 0 & 1 & -c_3 \end{pmatrix} \right] = \det  \begin{pmatrix}  \lambda & 0 & 0 & c_0 \\ -1 & \lambda & 0 & c_1 \\ 0 & -1 & \lambda & c_2 \\ 0 & 0 & -1 & c_3 + \lambda \end{pmatrix} = \\ \lambda \cdot \det \begin{pmatrix} \lambda  & 0 & c_1 \\ -1 & \lambda & c_2 \\ 0 & -1 & c_3 + \lambda \end{pmatrix} + (-1)^{n-1} \cdot c_0 \cdot \det \begin{pmatrix}  -1 & \lambda & 0 \\ 0 & -1 & \lambda \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

Die erste Determinante ist wegen der Induktionsvoraussetzung gleich
$$ \lambda^{n-1} + \sum_{i=0}^{n-2} c_{i+1}\lambda^i  $$ und die zweite Determinate ist wegen der Diagonalgestalt gleich $$  (-1)^{n-1} $$
Zusammen ergibt sich also

$$  \det \left[ \begin{pmatrix}  \lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}  0 & 0 & 0 & -c_0 \\ 1 & 0 & 0 & -c_1 \\ 0 & 1 & 0 & -c_2 \\ 0 & 0 & 1 & -c_3 \end{pmatrix} \right] = \\ \lambda \cdot \left( \lambda^{n-1} + \sum_{i=0}^{n-2} c_{i+1}\lambda^i \right) + (-1)^{n-1} \cdot c_0 \cdot (-1)^{n-1} = \lambda^n + \sum_{i=0}^{n-1} c_i \lambda^i $$

D.h. dass das charakteristische Polynom der Begleitmatrix des Polynoms p einfach p selber ist.

Das muss jetzt auf ein beliebiges \( n \) erweitert werden.

Comments

Wenn ich das nun für ein beliebiges n zeigen will, ist es dann einfacher den Beweis den du geschrieben hast, einfach nochmal für,eine beliebiges n durchzuführen ... Oder führt man n=4 als Spezialfall und probiert dann von diesem Spezialfall auf beliebige n zu schließen?

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Nimm die Beweisskizze von mir und verallgemeinere das. An ein paar Stellen habe ich das ja schon getan, indem ich \( n \) anstelle von \( 4 \) geschrieben habe.

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Hey MatheErstsemester und ullim danke fürs Reinstellen und beantworten der Frage. Wollte sie grad selbst verfassen und bin dabei drauf gestoßen und
kann schon damit arbeiten echt TOP!

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Was war deine InduktionsVoraussetzung?

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Bei der 3 x 3 Determinante habe ich die Induktionsvoraussetzung angewandt.

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Das hattest du ja auch geschrieben, aber mir ist nicht klar, was deine IV ist , sodass du auf das λ^{n-1} +... kommst.

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Also bei einem Induktionbeweis ... Beweise ich die Aussage erst einmal für ein bestimmtes n z.b. n=1. Das wäre dann meine IV . Und dann zeige ich ja mithilfe der IV das das auch für n+1 gilt und somit dann für alle n . Mein Problem ist das ich nicht verstehe , was deine InduktionsVoraussetzung ist . Also für welches n du gezeigt hast, das die Aussage gilt.

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Die 3 x 3 Determinante hat doch die Form eines charakteristischen Polynoms, aber für die Dimension 3 und das ist die IV.