Funktion Bestimmung!. Bitte Helfen Sie mir mit Rechnungweg

Question

Der Graf einer  ganzrational Funktion dritten  Grades schneidet die X-achse an der Stelle  x = -5 ;und hat an der Stelee  x=-1 einen  Wendenpunkt. Die Wendentangente hat die Gleichung y = -12x+4 .
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Answer 1

> Der Graf einer  ganzrational Funktion dritten  Grades

f(x) = ax³ + bx² +cx + d

Gesucht sind die Werte für a, b, c und d. Dazu werden vier Gleichungen benötigt.

> schneidet die X-achse an der Stelle  x = -5

Also f(-5) = 0 und somit

(1)        a·(-5)³ + b·(-5)² +c·(-5) + d = 0

> hat an der Stelee  x=-1 einen  Wendenpunkt

Also f''(-1) = 0.

f'(x) = 3ax² + 2bx +c

f''(x) = 6ax + 2b

f''(-1) = 6a·(-1) + 2b

Somit gilt

(2)        6a·(-1) + 2b = 0

> Die Wendentangente hat die Gleichung y = -12x+4

Das bedeutet zweierlei. Zum einen, dass f an der Stelle x = -1 die Steigung -12 hat. Es ist f'(-1) = 3a·(-1)² + 2b·(-1) +c, also

(3)        3a·(-1)² + 2b·(-1) +c = -12

Zum anderen haben Wendetangente und Funktion bei x = -1 den gleichen Funktionswert:

(4)        a·(-1)³ + b·(-1)² +c·(-1) + d = -12·(-1) + 4

Löse das Gleichungssystem aus (1), (2), (3), (4).

Comments

@Oswald - Korrigiere deine Antwort und ersetze -5 durch -1 in der letzten Zeile

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>  (2)        6a·(-5) + 2b = 0

Hier muss 

(2)        6a·(-1) + 2b = 0   stehen

wenn du Oswalds Gleichungssystem dann auflöst, erhältst du

f(x)  =  x³ + 3·x²  -  9·x + 5

[ Damit hast du nach Berechnen bei jeder Unbekannten eine Kontrolle :-) ]

Nachtrag:

Sorry, hat bei mir etwas gedauert und ich habe die Korrekturkommentare erst jetzt gelesen :-)