Analysis: Frage zur Kompaktheit von Vereinigungen und Durchschnitten

Question

Sind in K^N und anderen vernünftigen Räumen auch beliebige Vereinigungen ∪_i∈IK_i und beliebige Durchschitte ∩_i∈IK_i ( mit I≠∅ )  kompakter K_i immer noch kompakt?

Answer 1

Die Vereinigung aller abgeschlossenen Intervalle der Form [-a, a] mit a ∈ (0, 1) ist nicht kompakt in ℝ.

Jede abgschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt. um zu zeigen, dass ∩_i∈IK_i kompakt ist, genügte es, zu zeigen dass ∩_i∈IK_i abgeschlossen ist. Das geht über die Komplemente, die ja offen sind.

Comments

Hey danke für die Antwort würde das so reichten oder müsste man noch etwas ausführen bzw. beweisen?

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Ok hat sich geklärt konnte alles mit z.B. Sätzen belegen und hab den Beweis über die Komplemente hinbekommen. Werde ich ergänzen wenn ich sicher bin, dass es richtig ist.