Kettenregel mit Ableiten: x/(x+1)^{1/2}

Question

Hallo

Aufg: x/ (x+1)^1/2

^{ich bekomme} ((1* (x+1)^1/2) -(x* 1/2(x+1)^-1/2 *1))/ (x+1)

doch ich komme nicht auf die Lösung von ((x+2) (x+1)^1/2)/ (2*(x+1)²)

Answer 1

Hi,

das ist wieder genau das was Du hast :).

((1* (x+1)^1/2) -(x* 1/2(x+1)^-1/2 *1))/ (x+1)   |Ausklammern von 1/2*(x+1)^{-1/2} im Zähler

 

=((1/2*(x+1)^{-1/2} * (2(x+1)-x)) / (x+1)

= (2x+2-x) / (2*(x+1)^{3/2})

= (x+2) / (2(x+1)^{3/2})

 

Ich wäre hier fertig, aber hier wurde noch mit (x+1)^{1/2} erweitert:

-> ((x+2) (x+1)^1/2)/ (2*(x+1)²)

 

Grüße

Comments

Gerne :)     .

Answer 2

Ich benutze zur Ableitung die Quotientenregen und die Kettenregel.

f(x) = x / (x+1)^{1/2}

Zähler und Nenner getrennt ableiten

u(x) = x
u'(x) = 1

v(x) = (x+1)^{1/2}
v'(x) = 1/2 * (x+1)^{-1/2}

Anwendung der Quotientenregel

f'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / v^2(x)
f'(x) = (1 * (x+1)^{1/2} - x * 1/2 * (x+1)^{-1/2}) / (x+1)   | Erweitern mit 2 und (x+1)^{1/2}
f'(x) = (2(x+1) - x) / (2(x+1)^{3/2})
f'(x) = (x+2) / (2(x+1)^{3/2})

Fertig. Man kann den Nenner noch Rational machen indem man nochmals mit (x+1)^{1/2} erweitert.

f'(x) = (x+2)(x+1)^{1/2} / (2(x+1)^2)

Diesen schritt würde man aber normal nicht machen weil dann eine nächste Ableitung schwieriger werden würde. Auch bringt es für eine eventuell Nullstellenbestimmung nichts. Also ist die Umformung für nichts anderes gut als das ein Mathematiker dort seine Umformungskünste unter Beweis stellen kann.