Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten: Maureraufgabe

Question

Drei Maurer (A, B, C) sollen eine Mauer errichten.

Würden nur A und B arbeiten wären sie in 12 Tagen fertig.

 

Würden nur A und C arbeiten wären sie in 15 Tagen fertig.

Würden nur B und C arbeiten wären sie in 20 Tagen fertig.

Wie lange würde jeder Maurer alleine brauchen und wie lange brauchen sie zusammen.

 

Ich habe das ganze über das Einsetzungsverfahren gelöst und komme auch auf die richtige Lösung.

Mein Ansatz also:

1/A + 1/B = 1/12

12B + 12A = AB

und ebenso

15C + 15A = AC

20C + 20B = BC

Meine Lösung:

A = 20 Tage

B = 30 Tage

C = 60 Tage

 

Mich würde hier nur interessieren, ob es noch einen günstigeren Ansatz bzw. einen günstigeren Weg gibt als es über das Einsetzungsverfahren zu bestimmen.

Answer 1

Mein Ansatz ist ähnlich, aber vielleicht etwas leichter verständlich.

 

Die Mauer besteht aus x Teilen.

A schafft pro Tag a Teil, B schafft pro Tag b Teile und C schafft pro Tag c Teile.

 

Dann gilt

12(a+b)=x

15(a+c)=x

20(b+c)=x

 

Wählen wir für x jetzt eine günstige Zahl, z.B. 60, dann

a+b=5  (I)

a+c=4  (II)

b+c=3 => c=3-b  (III)

a+3-b=4 => a-b=1 (III) in (II) = (IV)

(I) + (IV) liefert

2a=6 => a=3 => b=2 => c=1

 

Da wir angenommen haben, die Mauer bestände aus 60 Teilen, ...

... bräuchte A alleine 60/3=20 Tage

... bräuchte B alleine 60/2=30 Tage

... bräuchte C alleine 60/1=60 Tage

... bräuchten A, B und C zusammen 60/(3+2+1)=10 Tage

Comments

Ja. Das finde ich schöner, da das ganze jetzt ja ein lineares Gleichungssystem ist.

Ich danke Dir.

Answer 2

Hi, ich greife die Aufgabe noch einmal auf:

1/A + 1/B = 1/12    (1)
1/A + 1/C = 1/15    (2)
1/B + 1/C = 1/20    (3)

(1) + (2) + (3) ergibt 2*(1/A + 1/B +1/C) = 1/12 + 1/15 + 1/20
Alle drei zusammen benötigen also 2 / (1/12 + 1/15 + 1/20) = 10 Tage.

(1) + (2) - (3) ergibt 2/A = 1/12 + 1/15 - 1/20
A alleine benötigt also 2 / (1/12 + 1/15 - 1/20) = 20 Tage.

(1) - (2) + (3) ergibt 2/B = 1/12 - 1/15 + 1/20
B alleine benötigt also 2 / (1/12 - 1/15 + 1/20) = 30 Tage.

-(1) + (2) + (3) ergibt 2/C = -1/12 + 1/15 + 1/20
B alleine benötigt also 2 / (-1/12 + 1/15 + 1/20) = 60 Tage.

Ich habe mit den Reziprokgleichungen gerechnet, ohne sie
aufzulösen, was hier fast unmittelbar zu den Ergebnissen führt.