Gradienten einer Funktion berechnen

Question

Aufgabe \( 27 . \)

Seien \( f(u, v)=e^{u v} \sin \left(u^{2}+v^{2}\right), g(u, v, w)=\ln \left(u^{2}+v^{2}+w^{2}+1\right), \) und
$$ u(x, y)=x+y, \quad v(x, y)=x y, \quad w(x, y)=x-y+1 $$
Berechnen Sie die Gradienten von \( F(x, y) \) und \( G(x, y), \) wobei
$$ F(x, y)=f(u(x, y), v(x, y)), \quad G(x, y)=g(u(x, y), v(x, y), w(x, y)) $$ 

Um den Gradienten zu berechnen muss ich ja die partiellen Ableitungen der Funktionen berechnen. Der Gradient ist dann der Vektor dessen Einträge die ersteln partiellen Ableitungen der Funktion sind.

Wie man einen Gradienten berechnet weiß ich, allerdings fällt es mir schwer die Funktionen F und G zu verstehen..

Wie soll ich davon die partiellen Ableitungen berechnen?

Answer 1

Hallo Henz,

du musst nur die Terme für u,v und w in F bzw. G einsetzen:

F(x,y) = exp( (x + y)·x·y )  ·  SIN((x + y)²  + x²·y²)

G(x,y) = ln( (x + y)² + x²·y² + (x - y + 1)² + 1 )

> Wie man einen Gradienten berechnet weiß ich

Kontrollergebnisse (Rechner):

F_x(x,y) = e^{ x²·y + x·y²}·((2·x·(y² + 1) + 2·y)·COS(x²·(y² + 1) + 2·x·y + y²)  ...

                                              ...  + (2·x·y + y²)·SIN(x²·(y² + 1) + 2·x·y + y²) )

F_y(x,y) = e^{ x²·y + x·y²}·(2·(x²·y + x + y)·COS(x²·(y² + 1) + 2·x·y + y²)  ...

                                              ...  + (x² + 2·x·y)·SIN(x²·(y² + 1) + 2·x·y + y²) )

  G_x = 2·(x·(y² + 2) + 1) / (x²·(y² + 2) + 2·x + 2·(y² - y + 1))

  G_y = 2·(x²·y + 2·y - 1) / (x²·(y² + 2) + 2·x + 2·(y² - y + 1))

Gruß Wolfgang