Ist p ∈ K[X] ein Polynom und λ ein Eigenwert von f, so ist p(λ) ein Eigenwert von p(f) und ähnliche beweise

Question

Sei K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, f ∈ End(V ) und p ∈ K[X] ein Polynom.

1. (a)  Sei v ein Eigenvektor von f zum Eigenwert 3. Zeigen Sie: v ist auch ein Eigenvektor von f ◦ f − f − idV und

   bestimmen Sie den zugehörigen Eigenwert.

2. (b)  Zeigen Sie allgemeiner: Ist p ∈ K[X] ein Polynom und λ ein Eigenwert von f, so ist p(λ) ein Eigenwert von p(f).

3. (c)  Zeigen Sie: Wird ein Vektor u ∈ V von g := f ◦f −f −idV auf 0 abgebildet, so wird auch f(u) von g auf 0 abgebildet.

4. (d)  Zeigen Sie allgemeiner: Ist p ∈ K[X] ein Polynom, so ist U := kerp(f) invariant unter f, d.h. f(U) ⊆ U 

   
   

   Weiß jemand, wie die Aufgabe gelöst wird oder kann mir einen Ansatz sagen ? 

Answer 1

(a) ist eine einfache Rechenaufgabe: $$(f^2-f-\operatorname{id})(v)=f(f(v))-f(v)-v={}?$$

(b) ist die gleiche Rechnung mit beliebigem Polynom: $$(a_nf^n+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots+a_1f+a_0\operatorname{id})(v)={}?$$

Comments

theoretisch verstehe ich die Aufgabe, aber weiß leider immer noch nicht wie ich rechnen soll :/

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Was verstehst Du denn "theoretisch" von den Aufgaben?

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Ich muss halt einfach rechnerisch zeigen, dass wenn ich den Eigenvektor f ◦ f − f − idV ausrechne, v rauskommen muss. 

Ich weiß nur nicht was ich für f einsetzen kann oder ob ich es ohne "Zahlen" zeigen kann.

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Quark. Deine Aufgabe ist es nicht, einen Eigenvektor von f ◦ f − f − id auszurechnen. Vielmehr ist nur nachzurechnen, dass das angegebene v einer ist. Die auszufuehrende Rechnung steht oben in der Antwort.