Stetigkeit im Nullpunkt untersuchen

Question

wenn ich die Stetigkeit im Nullpunkt einer aufgespaltenen Funktion untersuchen muss,

muss ich dann eine Nullfolge wählen zb. 1/n und diese für x einsetzten für "beide" Funktionen und gucken ob bei beiden 0 rauskommt?

Muss man immer eine Nullfolge wählen wenn man den Nullpunkt auf Stetigkeit untersucht?

Comments

Hallo NumeroUno,

was verstehst Du unter einer 'aufgespaltenen Funktion' ?

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Ich meine damit zb dass für alle x>0 eine andere Funktion gilt als für alle x kleiner gleich 0.

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Vermutlich eine stückweise definierte Funktion.

Answer 1

Wenn Du die Stetigkeit für \(x=0\) untersuchen möchtest, so macht man dies natürlich in dem Teilstück, das den Punkt 0 enthält. Wen Du beispielsweise folgende Funktion hast:

$$y = x \quad \text{für} \quad x \le 0$$

$$y = x^2 \quad \text{für} \quad x \gt 0$$

dann liegt \(x=0\) im ersten Teilstück der Funktion - d.h. \(f'(0)=1\)

Für fast(!) die gleiche Funktion

$$y = x \quad \text{für} \quad x \lt 0$$

$$y = x^2 \quad \text{für} \quad x \ge 0$$

wäre aber \(f'(0)=0\), da sich \(x=0\) jetzt im zweiten Teilstück befindet.

Die Untersuchung wird also nur für das Teilstücks gemacht, was den gewünschten Punkt enthält.

Gruß Werner

Comments

ja, aber in der Vorlesung haben wir das mit einer Nullfolge überprüft..

meine frage wäre jetzt ob man immer eine Untersuchung der Stetigkeit im Nullpunkt

mit der Nullfolge untersuchen muss.

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Die Antwort trifft erstens nicht das Problem und ist zweitens falsch.

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Die Definition für Stetigkeit aus Wikipedia ist: "Die Funktion f {\displaystyle f} ist stetig in ξ {\displaystyle \xi } , wenn zu jedem ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ein δ > 0 {\displaystyle \delta >0} existiert, so dass für alle x ∈ X {\displaystyle x\in X} mit | x − ξ | < δ {\displaystyle |x-\xi |<\delta } gilt: | f ( x ) − f ( ξ ) | < ε {\displaystyle |f(x)-f(\xi )|<\varepsilon } "

Wenn man Stetigkeit für \(f\) zeigen will, so muss man obige Aussage für \(f\) beweisen.

Das muss man nicht mit einer Nullfolge überprüfen, wenn man eine andere Möglichkeit findet. Und was die Stückweise definierten Funktionen betrifft, so muss man eine Intervallgrenze von beiden Seiten aus untersuchen. Mein Beispiel oben ist in \(x=0\) stetig, aber die Ableitung der Funktion ist es nicht. (In meiner Antwort habe ich Stetigkeit mit Differenzierbarkeit verwechselt)

Wenn das Deine Frage nicht beantwortet - was ist der Hintergrund Deiner Frage?

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Theoretisch kann man aber jede Nullstelle auf Stetigkeit mit der Nullfolge überprüfen oder nicht ?

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Ich meine Ja! Aber ich kann das nicht beweisen.