Zeige, dass die Matrix A nicht diagonalisierbar ist. Insbesondere ist nicht jede symmetrische Matrix diagonalisierbar.

Question

Zeige, dass die Matrix:

Zeige, dass die Matrix A nicht diagonalisierbar ist. Insbesondere ist nicht jede symmetrische Matrix diagonalisierbar. 

Answer 1

det ( A - x*E) = x²      also einziger Eigenwert 0

Eigenvektoren :

(A - 0* E)  * (x,y)^t = 0

x + iy = 0 und  i*x - y = 0

       x = - iy=   und  i*x - y = 0

                    i*( -iy) - y = 0

                          y - y = 0

Also y beliebig wählbar  etwa y= z  ∈ ℂ  und x = i*z.

Eigenvektoren sind also alle v = ( i*z , z )^t = z* ( i ; 1 )^t

Es gibt also keine 2 lin. unabhängigen Eigenvektoren, demnach auch

keine Basis von Eigenvektoren für ℂ² und also A nicht diagonalisierbar.