Zeigen Sie, dass die Menge U=(x,y,z) e R3/x+y-z=0} c R3 ein Untervektorraum ist.
Dazu muss man zeigen, dass
1. der Nullvektor,
2. die Summe zweier Elemente in U enthalten ist,
3. skalare Vielfache eines Elements wieder in U enthalten sind.
zu 1: Die Bedingung dafür, dass ein Vektor (x,y,z) ∈ R3 in U enthalten ist, ist ja x+y-z=0
wenn du also den Nullvektor (0;0;0) überprüfen willst, musst du für x,y und z je 0 einsetzen
und hast 0 +0 - 0 = 0 , und weil das wahr ist, gilt (0;0;0) ∈ U.
zu 2: Man stellt sich vor, dass etwa (a;b;c) und ( d;e;f) beide in U sind, also
gilt a+b-c=0 und d+e-f=0 . Die Summe der beiden ist ja nach
Der Def. von + in ℝ3 :
(a;b;c) + ( d;e;f) = ( a+d ; b+e ; c+f ) . Und um zu schauen, ob das ein Element von U ist, muss
man die Bedingung x+y-z=0 für x=a+d und y = b+e und z= c+f prüfen, das gibt
(a+d) + ( b+e) - ( c+f) nach Anwendung der einschlägigen Gesetze
= (a+b-c) + (d+e-f) und das ist ja
= 0 + 0 = 0 . Also ist die Summe in U.
zu 3: Probiere es mal entsprechend zu 2 mit dem Ansatz:
Sei (a;b;c) ∈ U und r ∈ ℝ und zeige: Dann ist auch r*(a;b;c) aus U.
