Probleme beim Bestimmen einer Drehmatrix

Question

Ich soll die Drehmatrizen R1,2(pi/2) und R2,3(pi) bestimmen (im R^3), wobei Ri,j(Alpha) die Drehung entgegengesetzt des Uhrzeigersinns um den Winkel Alpha in der i,j- Ebene ist.

Die Drehmatrix ist ja einfach definiert: $$ \begin{pmatrix}  cos(a) & -sin(a) \\ sin(a) & cos(a) \end{pmatrix} $$

Nun soll ich aber prüfen, dass R1,2(pi/2) * R2,3(pi) ungleich R2,3(pi) * R1,2(pi/2) gilt.

Ich bekomme für R1,2(pi/2)   $$\begin{pmatrix}  0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ raus

und für R2,3(pi)   $$\begin{pmatrix}  -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Nach meinen Berechnungen stimmt diese Aussage jedoch nicht, da die Multiplikation in beide Richtungen das gleich Ergebnis liefert. Vielleicht könnte jemand das kurz nachrechnen und mir sagen ob ich mich verrechnet hab oder nicht...

Vielen

Comments

Versuchs mal mit \(R_{1{,}2}(\tfrac\pi2)=\begin{pmatrix}0&-1&\color{blue}0\\1&0&\color{blue}0\\\color{blue}0&\color{blue}0&\color{blue}1\end{pmatrix}\) und \(R_{2{,}3}(\pi)=\begin{pmatrix}\color{blue}1&\color{blue}0&\color{blue}0\\\color{blue}0&-1&0\\\color{blue}0&0&-1\end{pmatrix}\).

Answer 1

Du drehst im ℝ³ , bauchst also 3×3-Drehmatrizen. Die sehen so aus:

• \(R_{2,3}(\alpha) = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\ 0&\sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}\)
• \(R_{1,3}(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha&0&\sin\alpha\\ 0&1&0\\ -\sin\alpha&0&\cos\alpha \end{pmatrix}\)
• \(R_{1,2}(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha&0\\ \sin\alpha&\cos\alpha&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\)