Gleichmächtigkeit zweier Mengen: A = {2, 4, 6, 8, ...} und B = {1, 0.1, 0.01, 0.001,..}

Question

Sind die beiden unendlichen Mengen

A = {2, 4, 6, 8, ...} und B = {1, 0.1, 0.01, 0.001,..} gleichmächtig?

Ich weiß, dass die beiden Mengen A, B gleichmächtig sind, wenn es eine bijektive Abbildung gibt f : A → B. Es gelten die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Transitivität. Aber wie zeig ich das z.B. A reflexiv ist?

Answer 1

Sei x ein Element der Menge A dann erhalte ich ein Element y der Menge B über

y = 10^{(2 - x)/2}

Answer 2

"Aber wie zeig ich das z.B. A reflexiv ist?"
Falls die Relation als "gleichmächtig sein" definiert ist, so ist sie reflexiv, da es eine Bijektion zwischen A und A gibt und zwar die Identität. Somit A~A.

Answer 3

Bijektion von ℕ₀ nach A: a(n) = 2(n+1)

Bijektion von ℕ₀ nach B: b(n) = 10^-n

Bijektion von A nach B: f(x) = b(a^-1(x))

> Es gelten die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Transitivität.

Da verwechselst du etwas. Diese Eigenschaften gelten für Äquivalenzrelationen.

Comments

Die Gleichmächtigkeit zweier Mengen ist eine Äquivalenzrelation..

Ich verstehe den 3. Schritt, also die Bijektion von A nach B noch nicht, magst du einmal erläutern?

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a ist eine Bijektion. Also hat a eine Umkehrfunktion. Diese Umkehrfunktion wird üblicherweise durch ein []^-1 gekennzeichnet. a^-1 ist also die Umkehrfunktion von a, also eine bijektive Abbildung von A nach ℕ0.

f(x) = b(a^-1(x)) funktioniert nun so:

Man wählt ein x aus A aus. Auf dieses x wird die Umkehrfunktion von a angewendet um ein Element n aus ℕ₀ zu berechnen. Auf dieses n wird dann die Funktion b angewendet um ein Element aus B zu berechnen.

Weil sowohl a als auch b Bijektionen sind, ist auch f eine Bijektion.