Integral zu cos^2(x) Ansatz

Question

Hallöchen :)

Ich hab zu dem obigen Integral eine Frage. Ich habe es etwas anders gerechnet als ich in den Foren finden kann, und komm auf eine andere Lösung. Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich mich einfach verrechnet habe, oder ob der Ansatz hier nicht passt.

Ich hab cos²(x) zu 1/2(1+cos(2x)) umgeformt.

Also

1/2 ∫ 1+cos(2x) dx                                      Substitution mit u=2x ergibt dann  1/2 ∫ 1+1/2 cos(u) du

=  1/2 x+1/2 sin (u) + c                             1. Frage darf ich dann überhaupt 1=> x machen, oder müsste es 1=> u heißen?

=1/2x + 1/2 sin(2x) + c                              Umformen mit sin(2x)= 2 sin(x)*cos(x)

=1/2x + sin(x)*cos(x) +c

Laut meinen Skript müsste aber hier

1/2x + 1/2 sin(x)*cos(x) raus kommen.

Aber dort wurde auch mit Partieller Integration gerechnet. Deswegen bin ich mir nicht sicher ob ich mich verrechnet habe, oder ob es einfach der falsche Ansatz ist.

:)

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Kommentar gelöscht

Answer 1

> Substitution mit u=2x

Das ergibt du/dx = u'(x) = 2, also dx = 1/2 du und somit

        1/2 ∫ 1+cos(2x) dx

    = 1/2 ∫ (1+cos(u))·1/2 du

    = 1/2 ∫ 1/2 + 1/2 cos(u) du

und nicht 1/2 ∫ 1+1/2 cos(u) du

> Frage darf ich dann überhaupt 1=> x machen

Führst du auch sonst bei der Bildung der Stammfunktion neue Variablen ein, die im Integranden überhaupt nicht vorkommen? :-)

> =1/2x + 1/2 sin(2x) + c

Was ist aus dem Faktor 1/2 geworden, der vor dem Integral stand?

Comments

Ich hab nicht gesehen dass die  1/2 sich ja auf den ganzen Term bezieht ^^

Und ja ich mach manchmal so Sachen wie neue Variablen einführen xD

Answer 2

1/2 ∫ 1+cos(2x) dx                                      

Substitution mit u=2x ergibt dann  

1 du = 2 dx

dx = du/2

1/2 ∫ 1+cos(u) du/2

1/2 ∫ 1/2+1/2 cos(u) du

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∫ COS(x)^2 dx

∫ COS(x)·COS(x) dx

Partielle Integration

∫ COS(x)·COS(x) dx = SIN(x)·COS(x) - ∫ SIN(x)·(-SIN(x)) dx

∫ COS(x)^2 dx = SIN(x)·COS(x) + ∫ SIN(x)^2 dx

∫ COS(x)^2 dx = SIN(x)·COS(x) + ∫ (1 - COS(x)^2) dx

∫ COS(x)^2 dx = SIN(x)·COS(x) + ∫ 1 dx - ∫ COS(x)^2 dx

2 · ∫ COS(x)^2 dx = SIN(x)·COS(x) + ∫ 1 dx

2 · ∫ COS(x)^2 dx = SIN(x)·COS(x) + x

∫ SIN(x)^2 dx = 1/2·(x + SIN(x)·COS(x)) + c

---

Integration über Additionstheoreme

∫ COS(x)^2 dx

∫ 1/2·COS(2·x) + 1/2 dx

1/4·SIN(2·x) + 1/2·x + c

1/2·SIN(x)·COS(x) + 1/2·x + c