Analytische Geometrie: Seitenlängen eines Dreiecks bestimmen

Question

Ich muss "mein Mathe auffrischen" was Vektoren betrifft und komme gerade nicht weiter:

Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks ABC. Um welche besondere Art eines Dreiecks handelt es sich dabei? Berechnen Sie den Flächeninhalt.

\[A=
\left(\begin{array}{c}
{1} \\
{0} \\
{-1}
\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{c}
{3} \\
{4} \\
{-1}
\end{array}\right)C=\left(\begin{array}{c}
{10} \\
{-2} \\
{5}
\end{array}\right) \quad \begin{array}{l}
{\overline{A B}=\sqrt{\left(a_{1}-b_{1}\right)^{2}+\left(a_{2}-b_{2}\right)^{2}+\left(a_{3}-b_{3}\right)^{2}}} \\
{\text { Länge }} \\
{\overline{A B}=\sqrt{4+16+4}} \\
{\overline{A B}=\sqrt{24}}
\end{array}
\]
Laut Lösung: \( c=\overline{A B}=\sqrt{20}=2 \cdot \sqrt{5}=4,47\, \mathrm{LE} \)

 
Ich setze die Zahlen ja genau in die Formeln ein und dennoch komme ich nicht auf dieses Ergebnis. Woran kann das legen?

Answer 1

Es ist überhaupt nicht nötig, dass du die Seitenlängen ausrechnest, wenn du den Flächeninhalt brauchst.

Berechne das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der Vektoren AB und AC .

Nachher bestimmst du die Länge des resultierenden Vektors und teilst diese durch 2.

Begründung

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Geometrische_Definition 

Rechenregel

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Komponentenweise_Berechnung

Comments

Also wenn ich die beiden Kreuzprodukte habe in dem Fall: AB (+4/-2/+4) und AC (-2/-5/-2)

berechne ich die Länge des Vektors, indem ich die Formel, die auf meinem Foto abgebildet ist, für AB und AC verwende.

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Berechne erst die beiden Vektoren

AB und AC

und danach deren Kreuzprodukt.

Zur Kontrolle und Korrektur: 

AB = ( 2|4|0) 

AC = (9| - 2| 6) 

Rechnung gemäss verlinkter Formel: 

AB x AC = ( 24 - 0 | -(12-0)) | - 4 - 36)  = (24 | - 12 | - 40) 

|AB x AC| = √ ( 24^2 + 12^2 + 40^2) 

Gesuchte Dreiecksfläche F = √ ( 24^2 + 12^2 + 40^2) / 2 = 2 sqrt(145) ≈ 24.083 

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Meinst du mit berechnen Skalarprodukt, also multiplizieren einfach?

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Nein Vektorprodukt. Ich hab dir die beiden Links angegeben. Wenn das eine Wiederholung ist, wirst du das wiedererkennen.

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In meinem Lösungsheft steht, dass der FE 24,1 beträgt. AB = ( 2|4|0) 

AC = (9| - 2| 4) müssten bei der 2 und bei der 9 keine Minus davor stehen?

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Wenn du richtig abgeschrieben hast, stimmen meine Vorzeichen bei AC.

AC = OC - OA .

Die übrigen Rechenfehler habe ich vermutlich inzwischen selbst gefunden (blaue Version oben) . Sonst darfst du gerne noch etwas melden.

Answer 2

Bedenke -1 - (-1) = 0  nicht 2.

Answer 3

Nochmal richtig zum mitschreiben:

AB = B - A = [2, 4, 0]

AC = C - A = [9, -2, 6]

Fläche 1/2·|[2, 4, 0] ⨯ [9, -2, 6]| = 1/2·|[24, -12, -40]| = 2·√145 = 24.08318915