Erzeugendensystem zeigen( a); Lineare Abhängigkeit der Polynome zeigen (c) p1(x) = 3, p2(x) = 1+x, p3(x) = 3x + 2

Question

Hallo könnte mir jemand erklärend a,b und c vorrechnen ? Dankesehr

Erzeugendensystem zeigen( a); Lineare Abhängigkeit der Polynome zeigen (c) p1(x) = 3, p2(x) = 1+x, p3(x) = 3x + 2  

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EDIT: Bitte Text auch als Text eingeben usw. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Habe Überschrift und Text unter deinem Bild nun ergänzt. Dafür bleibt keine Zeit mehr für a) .

Answer 1

Lineare Abhängigkeit der Polynome zeigen

(c) p1(x) = 3, p2(x) = 1+x, p3(x) = 3x + 2 

p1(x) = 3,

3* p2(x) = 3 + 3x,

p3(x) = 3x + 2 

------------------------

3*p2(x) - 1 = p3(x)

Da 1 = 1/3 * p1(x)

==> 3*p2(x) - 1/3 * p1(x) = p3(x)

q.e.d. (c)

(b)

a= (1,1,0)

b=(1,-1,0)

c= (0,1,1)

a, b und c zusammen bilden eine Basis des R^3.

Prüfen: Determinante der Matrix mit diesen 3 Spaltenvektoren ist nicht 0.

Comments

Und wie funktioniert a)

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zu zeigen:  Für alle v = (x,y)^T ∈ ℝ²  gibt es a,b,c ∈ ℝ mit

v = a*v1 + b*v2 + c*v3 .

Dazu muss gelten

x = a-b+c und y = a-b-c

also z. B. a=x+y und b=(x+y)/2 und c=(x-y)/2 .

Answer 2

a)
v1, v3 sind eine Basis von IR².
Es gibt a, b = 0, c aus IR mit a*v1, b*v2, c*v3 = (x,y)  für alle (x,y) aus IR².
Also ist <v1,v2,v3> ein Erzeugendensystem von IR².