Separation der Variabeln bei Differentialgleichung (1+x^2) v'(x) = 2xv(x)+2xln(e/(1+x^2))

Question

Aus einer Bernoullidiffgl. habe ich folgende Gleichung erhalten, welche ich über Separation lösen soll. Das vorgehen bei einer Separation verstehe ich bei simplen Aufgaben gut. Hier kann ich es aber nicht umsetzen.

(1+x^2) v'(x) = 2xv(x)+2xln(e/(1+x^2))

Lösung soll sein: v'(x)/v(x) = 2x/(1+x^2)

Wäre gut wenn mir jemand Schritt für Schritt erklärt wie ich auf diese Lösung komme.

Comments

Wie lautet die genaue Aufgabe?

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Die Differentialgleichung die in der Aufgabenstellung gegeben ist lautet:

(1+x^2)u'(x) = xu(x)+(x/u(x))*ln(e/(1+x^2))

Habe dann u(x) = v(x)^α gewählt. Alpha = 1/2. Dann kam ich auf die oben genannte Diffgleichung.

Answer 1

Meine Berechnung:

Comments

Vielen Dank für die Mühe, mir fällt es leider schwer deine Schritte nachzuvollziehen.

Ich habe ja schon die Bernoulli Diffgleichung auf eine "ordentliche" Form bekommen. Ich muss also nur noch  v'(x)/v(x) alleine auf die linke Seite der Gleichung bekommen um integrieren zu können. 
(1+x²) v'(x) = 2xv(x)+2xln(e/(1+x²))  ->  v'(x)/v(x) = 2x/(1+x²) 

Die Frage ist also wie ich von der linken Gleichung auf die rechte komme. Bis zu diesem Punkt stimmt mein Vorgehen mit dem der Musterlösung überein. 

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So geht es weiter:

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@ Haferflocke

> Aus einer Bernoullidiffgl. habe ich folgende Gleichung erhalten ...

>  (1+x²) v'(x) = 2xv(x)+2xln(e/(1+x²))   ->   v'(x)/v(x) = 2x/(1+x²)     ?

Wolframalpha gibt für die beiden DGL folgende allgemeine Lösungen an:

links:   v(x) = c * (x² +1) - ln(1 / (x^2+1))

rechts:   v(x) = c * (x² +1)   

Irgendwie scheint deine Umformung nicht richtig zu sein.

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Hier die Musterlösung. Bis zum roten Pfeil hat alles geklappt.

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das hab ich Dir doch berechnet.

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Unglaublich. Jetzt erst sehe ich die Lösung.

Da hab ich einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen.

Danke nochmals.

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ist ja auch nicht ganz so einfach .

:-)