Entwerfen Sie eine 4 m hohe Rutsche, deren Steigung an der steilsten Stelle genau 45° beträgt

Question

Aufgabe:

Das Bild zeigt den Entwurf einer Metallrutsche für Spielplätze. Das seittiche Profil der Rutsche soll durch den Graphen
einer ganzrationalen Funktion modelliert werden und durch deren Extrempunkte begrenzt sein.

a) Bestimmen Sie einen geeigneten Funktionsterm.

b) Der TÜV fordert von den Herstellern, dass Spielzeugrutschen an keiner Stelle steiler sein dürfen als 50° gegen die Horizontale. Entspricht die Rutsche dieser Anforderung?

c) Entwerfen Sie eine 4 m hohe Rutsche, deren Steigung an der steilsten Stelle genau 45° beträgt.

Die Funktionsgleichung zu a ist:

f(x) = 1/8x³ - 3/4x² + 4

Wendepunkt in (2|2)

Ich verstehe Aufgaben b und c nicht.

Answer 1

f(x) = 1/8·x^3 - 3/4·x^2 + 4
f'(x) = 3/8·x^2 - 3/2·x

arctan(f'(2)) = -56.30993247

Die Rutsche ist also -56° steil.
Die Steigung im Wendepunkt beträgt f'(2) = -1.5. Damit es nur noch -1 sind müsste die horizontale Strecke von 4m um genau 3/2 gestreckt werden. Damit ist die Strecke dann 6 m lang.

Die Funktion sollte dann so aussehen

g(x) = 1/8*(2/3*x)^3 - 3/4*(2/3*x)^2 + 4

Ausmultiplizieren muß man das zum Glück nicht, wenn es nicht gefordert ist.

Comments

was ist dieses arctan und warum muss die Steigung -1 betragen ?

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vielleicht hast du den arctan nur unter tan^{-1} kennengelernt. Damit rechnet man einen Winkel aus, wenn man das Verhältnis aus Gegenkathete und Ankathete hat. Zufällig ist dieses Verhältnis aber auch die Steigung im Steigungsdreieck einer linearen Funktion.

Wenn eine Gerade die Steigung -1 hat Bildet sie mit der x-Achse einen Winkel von -45 Grad. Am besten ist es wenn du dir dazu mal eine Skizze machst, wenn dir das unklar ist.