Löse folgende Differentialgleichung: y´=(y/x)-wurzel(1-(y/x))

Question

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ich soll folgende DGL lösen: y´=(y/x)-wurzel(1-(y/x))

Ich würde hier Integration durch Substitution anwenden. Könnt Ihr mir es schritt für schritt erklären mit allen regeln?

würde mich freuen:-)

Liebe Grüße

Answer 1

Substituiere:

z=y/x

y=z x

y' =z+z'x

Setzte das in die DGL ein

---------->

z +z' x= z -√(1-z)

z' x= -√(1-z) ->Trennung d Variablen

usw

zum Schluß resubstituieren

Answer 2

Substituiere \(y=x \cdot u(x)\) - die linke Seite nach Produktregel auflösen:

$$\frac{d(x \cdot u(x))}{dx} = u(x) + x \cdot \frac{du(x)}{dx}= u(x) - \sqrt{1- u(x)}$$

Das \(u(x)\) fällt raus. Nach Trennung der Veränderlichen erhält man (Bem.: \(u(x) = u\))

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-u}} du = -\int \frac{1}{x} \space dx$$

Integrale ausrechnen

$$-2\sqrt{1-u} = -\ln(x)+C$$

und nach \(u\) auflösen

$$4(1-u) = \ln^2(x) - 2C \ln(x) + C^2$$

$$u= 1- \frac{1}{4}\left( \ln^2(x) - 2C \ln(x) + C^2 \right)$$

und in \(y=x \cdot u(x)\) einsetzen

$$y= x- \frac{x}{4}\left( \ln^2(x) - 2C \ln(x) + C^2 \right)=\frac{1}{4}\left( (4-C^2)x + 2Cx\ln(x) -x \ln^2(x) \right)$$