Wie kommt die Umformung des Integrals zu Stande

Question

Folgendes Problem:

Aufgabe:
\( \int \frac{1}{3 x^{2}+5} \mathrm{~d} x \)

Substituiere \( u=\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}} \longrightarrow \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \mathrm{~d} u \) (Rechenweg):
\( =\frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} \int \frac{1}{u^{2}+1} \mathrm{~d} u \)

Die Sache mit der Substitution ist mir klar, danach das Ableiten und umformen auch. Aber wie kommt die letzte Reihe zustande?

1/u^2+1 aufgeleitet ist arctan(u).. hab ich mittlerweile raus...  aber wie kommt $$\frac { \sqrt { 5 }  }{ \sqrt { 3 }  } $$ als 1/√3*√5 als Konstante vor das Integral?

Answer 1

" aber wie kommt

5‾√3‾√53

als 1/√3*√5 als Konstante vor das Integral? "

u = √3 / √5 * x    

du / dx = √3 / √5        | * dx , * √5

(√5 ) du = (√3 ) dx        | : √3

(√5 / √3)  du = dx 

Comments

jo das ist mir bewusst... und wie bekomm ich das nun als 

$$\frac{1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}$$ vor das Integral?

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Du musst ja erst mal dafür sorgen, dass im Integranden unten hinten eine 1 steht.

Das führt zu 

"oben und unten"             * 1/5  .

Den 1/5 von "oben" kannst du dann auch noch vor das Integral nehmen und mit √(5) / √(3) verrechnen. 

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$$\int { \frac { 1 }{ { u }^{ 2 }+1 }  } \frac { \sqrt { 5 } }{ \sqrt { 3 }  } du $$

$$=\int { \frac { 1 }{ { u }^{ 2 }+1 }  } \frac { \sqrt { 5 } \cdot \frac { 1 }{ 5 }  }{ \sqrt { 3 } \cdot \frac { 1 }{ 5 }  } du$$

$$=\frac { 1 }{ 5 } \int { \frac { 1 }{ { u }^{ 2 }+1 }  } \frac { \sqrt { 5 }  }{ \frac { \sqrt { 3 }  }{ 5 }  } du$$

$$=\frac { 1 }{ 5 } \int { \frac { 1 }{ { u }^{ 2 }+1 }  } \frac { 5\cdot \sqrt { 5 }  }{ \sqrt { 3 }  } du$$

$$=?\frac { 25\cdot \sqrt { 5 }  }{ \sqrt { 3 }  } \int { \frac { 1 }{ { u }^{ 2 }+1 }  } du$$ ich verstehs nicht... 

$$!= \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } \cdot \sqrt { 5 }  } \int { \frac { 1 }{ { u }^{ 2 }+1 }  } du$$

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die letzte reihe sollte

$$\frac {  \sqrt { 5 }  }{ \sqrt { 3 }  } \int { \frac { 1 }{ { u }^{ 2 }+1 }  } du$$sein aber trotzdem ist das ja was anderes als gewollt... 

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Bitte keine Faktoren erfinden. Einfach rechnen und ersetzen, was sicher ist.

Nochmals: 

Du musst ja erst mal dafür sorgen, dass im Integranden unten hinten eine 1 steht.

Das führt zu 

"oben und unten"             * 1/5  .

Integrand:

1/(3x^2 + 5) 

= (1/5) / ((3x^2)/5 + 1) 

= (1/5) / ((3/5)x^2) + 1)

= (1/5) / ((√3/√5)x)^2  + 1)

= (1/5) / (u^2  + 1)

= (1/5)* 1 / (u^2  + 1)

Nun noch dx durch √(5) / √(3)  du ersetzen. 

Den 1/5  aus dem Zähler kannst du dann auch noch vor das Integral nehmen und mit √(5) / √(3) verrechnen. 

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geht doch.. jetzt hab ichs sogar verstanden... danke dass du dir dafür die zeit genommen hast. :D

Answer 2

Hier mal allgemein vorgemacht.

∫ 1/(a·x^2 + b) dx

= 1/b · ∫ 1/(a/b·x^2 + 1) dx

= 1/b · ∫ 1/((√a/√b·x)^2 + 1) dx

Subst. u = √a/√b·x

1 du = √a/√b dx

dx = √b/√a du

= 1/b · ∫ 1/(u^2 + 1) √b/√a du

= 1/(√a·√b) · ∫ 1/(u^2 + 1) du

= 1/(√a·√b) · ARCTAN(u) + C

Resubst.

= 1/(√a·√b) · ARCTAN(√a/√b·x) + C