Vektoren, Skalarprodukt: Norm von u = AB - 2AC berechnen

Question

Dreieck mit den Werten (Beträgen) \( \overline{AB} = 8; \overline{AC} = 3 \)

Skalarprodukt \( \overline{AB} · \overline{AC} = 12 \)

Wie viel beträgt \( \vec{u} = \overline{AB} - 2 \overline{AC} \)?

Wie kommt man auf die Lösung: √52

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Diese Frage hast du doch vor ein paar Tagen schon eingestellt. Bitte suche sie. Es gibt dort gute Antworten.

 u = AB - 2 AC

nn verwendete z.B. das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst.

||u||^2 = u*u =  ( AB - 2 AC)*(  AB - 2 AC)    usw.

Answer 1

Es gilt  Skalarprodukt AB*AC = |AB| * |AC| * cos(α)

                                        12 = 3 * 8 * cos(α)

==>  cos(α) = 0,5   ==>   α =60°

Und u entsteht durch AB - 2AC  also ist in dem Dreieck "A B Spitze von u "

Der Innenwinkel bei B auch 60° und die dort anliegenden Seiten 8 und 6 ,

also mit cos-Satz

|u|² =  64 + 36 - 2* 6*8*cos(60°)

        = 100 - 48  =  52

also |u| = √52.

Comments

Wie kommst du auf die 6 ?

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2AC hat die Länge 6

Answer 2

$$\Vert\vec u\Vert^2=\langle\vec u,\vec u\rangle=\Vert\overrightarrow{AB}\Vert^2-2\langle\overrightarrow{AB},2\overrightarrow{AC}\rangle+\Vert2\overrightarrow{AC}\Vert^2=8^2-2\cdot2\cdot12+4\cdot3^2=52.$$