Eine rekursive Folge a_n beweisen und auf Konvergenz prüfen: a1 := √(2) und a_n+1 := √(2+a_n)

Question

Ich sitze hier schon seit einer knappen Stunde dran und weiß nicht wie ich die Aufgaben lösen soll:

Wir definieren eine Folge (a_n) rekursiv durch:

a₁ := √(2)

a_n+1 := √(2+a_n)

 

a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:

Für alle n € IN ist a_n< 2

b) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:

Die Folge (a_n) ist streng monoton wachsend.

c) Zeigen Sie, dass (a_n) eine konvergente Folge ist und lim(n-->unendlich) von a_n = 2 gilt.

Answer 1

a) Du stellst eine Gleichung auf und schaust, unter welcher Bedingung a_n+1 kleiner ist als 2:
√(2+a_n) < 2

2+a_n < 4

a_n < 2

Falls also a_n kleiner war als 2, dann ist auch a_n+1 kleiner als 2. Da a₁ kleiner ist als 2, ist a_n also für jedes beliebige n kleiner als 2.

 

b) Du musst zeigen, dass a_n+1 > a_n gilt.

a_n+1 > a_n

√(2+a_n) > a_n

2+a_n > a_n²

a_n²-a_n-2 < 0

Bei einer quadratischen Ungleichung betrachtet man am besten erstmal die Gleichung und entscheidet dann, für welche Bereiche die Ungleichung erfüllt ist:

a_n²-a_n-2 = 0

a_n1,2 = 1/2 ± √(1/4+2) = 1/2 ± 3/2

a_n1 = 2

a_n2 = -1

Die Ungleichung ist nun erfüllt, wenn a_n im Intervall (-1, 2) liegt. Da der Anfangswert √2 in diesem Intervall liegt, ist die Folge anfangs also monoton wachsend. Wie wir in a) gezeigt haben, ist sie aber durch 2 nach oben beschränkt, wird dieses Intervall also niemals verlassen.
Die Folge ist also monoton wachsend für alle n aus ℕ.

c) Wir wissen: jede monotone, beschränkte Folge besitzt einen Grenzwert g.

Für diesen Grenzwert g muss gelten: setzt man ihn in die Bildungsvorschrift ein, dann kommt wieder g heraus.

g = √(g+2)

g² = g+2

g²-g-2 = 0

Das ist genau die Gleichung, die wir eben schon gelöst haben. Die Folge hat also zwei mögliche Grenzwerte:

-1 und 2.

Da wir aber eben bereits gezeigt haben, dass die Folge monoton wachsend ist, kommt nur 2 als Grenzwert in Frage.