Wie bestimme ich eine Summenformel?

Question

Wie bestimme ich die Summenformel der folgenden Reihe:

1/1*3 + 1/3*5 + 1/5*7 +....+ 1/(2n-1)(2n+1)

Comments

$$\textsf{Tipp: }\sum_{n=1}^N\frac2{(2n-1)(2n+1)}=\sum_{n=1}^N\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right)=1-\frac1{2N+1}.$$

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Sorry, aber diesen Tipp kann ich nicht nachvollziehen. Woher kommt die 2 im Zähler des 1.Terms?

Auch wie du auf den 2.Term und die "Lösung" kommst, verstehe ich nicht.

Die Lösung muss doch lauten: n/(2n+1).

Leider weiß ich immer noch nicht, wie man sie herleitet.

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Man hat von dem ersten Teil eine Partialbruchzerlegung gemacht. Es ist dabei egal welche Zahl im Zähler steht. nn hat sich für die 2 entschieden damit man nach der Partialbruchzerlegung keine Werte wie 0.5 im Zähler stehen hat.

Du kannst aber auch einfach die 1 im Zähler stehen lassen und damit eine Partialbruchzerlegung machen.

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Danke, das mit der Partialbruchzerlegung habe ich jetzt verstanden, aber wie kommt nn auf den dritten Term?

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Nimm mal die Summe

∑ (n = 1 bis N) (1/(2n - 1) - 1/(2n + 1))

und schreibe mal die Summanden hin

= (1/1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + ... + (1/(2N - 1) - 1/(2N + 1))

= 1/1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 + ... + 1/(2N - 1) - 1/(2N + 1)

= 1/1 - 1/(2N + 1)

= 1 - 1/(2N + 1)

So sollte das klar sein oder?

Answer 1

Eigenltich steht ja die Lösung bei nn schon fast da. Da er vorher den Term mit 2 multipliziert hat ist dieser nachher durch 2 zu teilen.

(1 - 1/(2n + 1)) : 2

= ((2n + 1)/(2n + 1) - 1/(2n + 1)) : 2

= (2n + 1 - 1)/(2n + 1) : 2

= (2n)/(2n + 1) : 2

= n / (2n + 1)

Kontrolle von meinem Freund Wolfram.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_k%3D1%5En+1%2F((2k-1)(2k%2B1))

Sieht alles recht gut aus.