Flächeninhalt Kugelsegment

Question

ich möchte den Flächeninhalt folgendes Kugelsegmentes berechnen:

also  gilt nach Umstellung $$ x^2 + y^2 + z^2 = 1$$

ich möchte die Kugelkoordinaten verwenden. Also gilt:

$$ x=rcos(\varphi)sin(\theta)\\y=rsin(\varphi)sin(\theta)\\z=rsin(\theta) $$

als Grenzen wähle ich h[r,φ,ϑ] [0,1] x [0, 2* π] x [π/6 , 2*π /3] die Grenzen für ϑ habe ich über Trigo bestimmt.

Nun habe ich ein Problem, ich weiß nicht genau "wie" ich integrieren soll.

Mein Ansatz

$$\int_{0}^{2\pi} \int_{\pi/6}^{2\pi/3} d\varphi d\theta $$

Also Kreuzprodukt und Betrag der Richtungsableitungen von ϑ u. φ in das Integral einsetzen.

$$\int_{0}^{2\pi} \int_{\pi/6}^{2\pi/3} \parallel {F_\varphi} x {F_\varphi}\parallel d\varphi d\theta $$

was ausgerechnet ergibt:

$$\int_{0}^{2\pi} \int_{\pi/6}^{2\pi/3} \sqrt{r^4  cos(\varphi)^2} d\varphi d\theta $$

Leider kommt ein falsches Ergebnis raus... entweder habe ich mich verrechnet, oder mein Ansatz ist komplett falsch.

Comments

Deine Kugelkoordinaten sind falsch,es ist z=rcos(Θ).

Das Flächenelement musst du eigentlich auch nicht ausrechnen, das ist bekannt:

dA=r^2 sin(Θ)dφdΘ

Dann sollte die Rechnung aufgehen ;)

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Ich werde es wohl nie verstehen wann ich sin(ϑ) und wann cos(ϑ) nehmen darf...

Was passiert denn mit dem r^2 muss ich das anders ausdrücken? Weil das Ergebnis sollte eigentlich π sein.

Ich bekomme da nur krumme Sachen raus :D

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EDIT: Zur Überschrift. Ist eine Fläche auf einer Kugel nicht eher eine Kugelhaube als ein Kugelsegment?

Answer 1

Also man kann es sich so merken:

Man fängt mit Polarkoordinaten in 2-D an, die lauten in üblicher Konvention:

x=rcos(φ)

y=rsin(φ)

Jetzt geht man auf 3-D über, dazu fügt man bei x und y SIN(Θ) als Faktor hinzu

und bei z ist es genau das andere also COS(Θ)

x=rcos(φ)sin(Θ)

y=rsin(φ)sin(Θ)

z=rcos(Θ)

Zur Übung kannst du dir damit das Flächenelement dA=r² sin(Θ)dφdΘ herleiten.

(Du warst ja bei deiner Rechnung nicht ganz auf dem Holzweg, aber der Fehler im Ansatz hat es halt verdorben)

Beachte: beim Flächenelement ist r^2=1 eine Konstante, weil x^2+y^2+z^2=r^2=1 laut Aufgabenstellung.

Zu Korrigieren sind auch noch die Grenzen von Θ:

Aufgrund von 1/2<=z<=1 folgt 1/2<=cos(Θ)<=1

--> Θ∈[0,π/3]

Zusammengefasst:

$$ A=\int_{0}^{2\pi}d\varphi  \int_{0}^{\pi/3} sin(\theta)  d\theta $$

PS: Das ist dann aber nur die Fläche der Kugelhaube, wie Lu schon anmerkt.

Comments

Das r^2 eine Konstante ist habe ich mir sogar schon gedacht, da kein ≤  etc. Zeichen da ist und man somit den lediglich den "festen" Einheitskreis hat (wenn man das so ausdrücken darf).
Zu den Grenzen: Ursprünglich hatte ich die Grenzen 

$$\int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{\pi/3}^{\pi/2} d\theta $$

Hergeleitet habe ich die Grenzen für  ϑ  anhand des Einheitskreistes und trigometrischen Funktionen. ( x-Achse = xy-Achse ; y-Achse = z-Achse)

wenn z = 1/2 ist:

cos(ϑ) = 1/2/1 = 1/2 ... ergibt ϑ = pi/3

Warum pi/2? weil wenn z=1 ist wir bei Punkt (0,1) sind auf dem Einheitskreis welcher pi/2 entspricht.

Die anderen ("falschen") Grenzen für ϑ sind zustande gekommen weil ich die andere Konvention mit r*sin(ϑ) verwenden wollte und scheinbar auf einen nicht korrekten Tipp gehört habe...

Die letztendliche Frage, hätte ich meine ursprünglichen Grenzen so verwenden können? Und noch viel wichtiger ist meine gedankliche Herleitung so korrekt?

PS: Die Aufgabenstellung hieß lediglich die Fläche des Kugelsegmentes zu berechnen, ich denke den Tipp mit der "Haube" "Kappe" wollten sie nicht geben :P.

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Kurze Folgefrage

wenn ich jetzt den Fluss von w durch F berechnen will mit

w=(y, -x, z) mit div(w) = 1

kann ich doch den Satz von Gauß verwenden.

$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/3} div(w(x,y,z))d\varphi d\theta dr$$

also folgt unter Verwendung von Kugelkoordianten:

$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/3} r^2 sin(\theta)d\varphi d\theta dr$$

Naja, irgendwas stimmt aufjedenfall schon wieder nicht.... oder ich bekomme die einfachsten Integrale nicht mehr gelöst.

Die Lösung sollte 7/12 * π sein.

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zu deiner ersten Frage:

die ursprünglichen Grenzen passen so halt nicht ganz, denn cos(π/2)=0.

Um z=1 zu erreichen benötigt man Θ=0 , weil cos(0)=1.

Zur zweiten Frage: du kannst den Satz von Gauß benutzen, musst aber folgendes beachten: die Kugelfläche ist nicht der komplette rand der Menge, es gibt noch eine Fläche "untendran" damit es vollständig ist, und da fließt auch noch ein Teil rauß.

Mir ist allerdings nicht direkt klar wie man die untere Fläche genau wählen darf, damit es eine kompakte Menge darstellt.

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Man kann die Aufgabe recht einfach ohne Satz von Gauss lösen, die ist so konstruiert xD:

Es ist

$$ F=\int\vec{ w }d\vec{ A }=\int\begin{pmatrix} y\\-x\\z \end{pmatrix}\vec{ { e }_{ r } }dA\\=\int[\vec{ { e }_{ \varphi }}+\begin{pmatrix} 0\\0\\z \end{pmatrix} ]\vec{ { e }_{ r } }dA\\=\int \begin{pmatrix} 0\\0\\z \end{pmatrix} \vec{ { e }_{ r } }dA\\=\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\pi/3} cos^2(\theta)sin(\theta) d\theta $$

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Danke, ich dachte man könnte einfach sturr mit Gauß bei solchen Aufgaben loslegen, schade!

Auch wenn ich nicht ganz verstehe wie die ganzen Vektoren zustande kommen :(

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Wie die Vektoren zustande kommen:

also beim Flussintegral reicht es nicht, das skalare Flächenelement zu berechnen, sondern man benötigt das vektorielle Flächenelement, damit man ein Skalarprodukt berechnen kann. Der Betrag vom vekt. Flächenelement  ist

dA=r^2 sin(Θ)dφdΘ

Jetzt zum Vektorteil: das vekt. Flächenelement steht senkrecht auf der Oberfläche und zeigt nach außen.

Bei einer Kugelfläche steht der radiale Einheitsvektor senkrecht auf der Oberfläche (kann man auch per Rechnung herleiten, indem man das Kreuzprodukt auswertet). Daher in der Formel e_{r .}Der hat auch Betrag 1 .

Der andere Einheitsvektor  eφ kommt vom Vektorfeld w:

es ist (-y,x,0)=

(-rsin(φ)sin(Θ),rcos(φ)sin(Θ),0)

=d/dφ (rcos(φ)sin(Θ),rsin(φ)sin(Θ),rcos(Θ))

Die Einheitsvektoren  er und eφ stehen senkrecht aufeinander, daher gibt das dann 0 im Skalarprodukt.

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Sodala,

um den Satz von Gauß verwenden zu können muss man die Ränder beschreiben mithifle von Zylinderkoord.

der Rand wäre dann

Jedoch kann ich mir den in rot eingerahmten Teil nicht so ganz vorstellen :D

ich würde als Parametrisierung

x = sqrt(1-z^2) * cos(φ)

y = sqrt(1-z^2) * sin(φ)

z = z

wählen.

Bei den Grenzen z ∈ [1/2 , 1], φ ∈ [0, 2*π], und bei r habe ich keine Ahnung, eventuell r ∈ [ 0 , sqrt(3)/2]

Leider wurde in der Lösung eine andere Parametrisierung verwendet.

x = r*sqrt(1-z^2) * cos(φ)

y = r*sqrt(1-z^2) * sin(φ)

z = z

dabei gilt doch x^2 + y^2 = r^2 und da x^2 + y^2 = 1 - z^2 sollte doch folgen r = sqrt(1-z^2)

Sorry dass ich immer noch nicht durch bin mit der Aufgabe :P

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Ich kann leider nicht mehr reineditieren von daher hänge ich mal meine "Lösung" an. Allgemein für das Kugelsegment:

$$\left\{ (x,y,z) \in  x^2 + y^2 + z^2 = 1, 1/2 \leq z \leq 1\right\}$$

Die Zylinderkoordinaten sind.

$$ x = r * cos(\theta) \\y = r * sin(\theta) \\z = z \\ $$

für die Menge angepasst an den Zylinder gilt:  (Kuppel)

$$\left\{ (x,y,z) \in  x^2 + y^2 = \sqrt{1-z^2}, 1/2 \leq z \leq 1\right\}$$ (maximale Dimensionen, Kuppel hat gesamt Höhe 1/2)

$$\left\{ (x,y,z) \in  x^2 + y^2 < \sqrt{1-z^2}  , z = \frac{1}{2} \right\}$$

Wir wissen das unsere Menge eine Kugel(-segment) mit dem Radius $$ r = \sqrt{1-z^2}$$ ist.

Unser Zylinder läuft auf der z-Achse (Höhe) von $$1/2 \leq z \leq 1$$ da sich in diesem Bereich das Kugelsegment befindet gegeben durch die Einschränkungen.

Nun muss der Radius des Zylinders, an den des Kugelsegmentes angepasst werden. Der Radius des Zylinders wird folglich um den Faktor des Radius von der Kugel ergänzt. Der Radius muss mit z skalieren, da er abhängig von z ist/sein muss.

$$ x =\sqrt{1-z^2} * r * cos(\theta) \\y = \sqrt{1-z^2}* r * sin(\theta) \\z = z $$

dabei lassen wir den Zylinder ganz gewöhnlich von $$0 \leq r\leq 1$$ laufen, damit ist auch der komplette "Boden" abgedeckt, der Boden müsste wenn ich mich nicht irre jedoch einen Radius von sqrt(3)/2 haben.

Also folgt letztendlich unter Gauß (div(w) = 1)

$$ \int_{\frac{1}{2}}^{1}\int_{0}^{2*\pi}\int_{0}^{1} r* \sqrt{1-z^2} drd\theta dz  $$

Ich denke das sollte so Sinn ergeben. Warum kann ich nicht einfach irgendwie ein Integral zaubern welches den Radius des Kugelsegmentes von sqrt(3)/2 benutzt? Also von 0 < r < sqrt(3)/2 läuft?