Winkel ABC innerhalb eines Quaders bestimmen

Question

Ich soll den Winkel ∠ABC innerhalb des folgenden Quaders bestimmen:

Wie muss ich vorgehen? Irgendwie über die AB Diagonale glaube ich?!

Comments

Kennst Du Dich schon ein wenig mit Vektorrechnung aus?

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Vektoren würde auch gehen. Ich bin an einer Lösung interessiert, egal wie :))

Answer 1

So adhoc fällt mir folgender Weg ein:


Berechne zunächst den Flächeninhalt F des Dreiecks. Bestimme dazu die Längen der drei Seiten und wende dann den Satz des Heron an:

F = √ ( s * ( s - a ) * ( s - b ) * ( s - c ) )

wobei a, b, c die Seitenlängen des Dreiecks sind und s der halbe Umfang ist, also

s = ( a + b + c ) / 2

 

Benutze danach die Formel

F = a * b * sin ( γ ) / 2

in der γ der gesuchte Winkel ist und a und b die Seiten sind, die den Winkel γ einschließen.

Löse die Formel nach γ auf:

γ = arcsin ( 2 * F / ( a * b ) )

setze den oben berechneten Wert F und die Seitenlängen a und b ein und rechne aus.


Vielleicht geht es auch einfacher ...?

Answer 2

Dann habe ich eine Lösung, denke ich :-)

Der Richtungsvektor von B nach C ist C - A, nennen wir ihn c

Der Richtungsvektor von B nach A ist A - B, nenne wir ihn a

Dann brauchen wir noch |c| und |a|

Dann beträgt der gesuchte Winkel 

β = arccos [   (a * c)      /     (|a| * |c| )   ]

Google: "Winkel zwischen zwei Geraden"

Besten Gruß