Reihen und Vektorräume zeigen das eine Teilmenge ist

Question

ich habe 2 Mengen gegeben 
A:={(Xn)n element der reellen zahlen: Summe über n=o bis unendlich von |Xn| < unendlich}
B:={(Xn)n element der reellen zahlen: Summe über n=o bis unendlich von |Xn|² < unendlich}

Nun muss ich zeigen das A Teilmenge von B ist.

Ich weiss, dass  aus A teilmenge B <=> für alle x element A => x element B folgt jedoch weiss ich nicht wie ich das zeigen soll

Vielen Dank schonmal

Answer 1

Also musst du zeigen: wenn du ein Element von A hast, dann ist es

auch in B.

Die Elemente von A sind Reihen, die absolut konvergent sind.

Sei (x_n) _n∈ℕ   die Folge der Glieder einer solchen Reihe.

Also sind die Reihenglieder von einer bestimmten Stelle N an vom

Betrag her kleiner 1.

Dann gilt für  die Quadrate dieser Reihenglieder

n>N   ==>          (x_n)² < |x_n|

Damit ist die Reihe der  |x_n| von N an betrachtet eine

konvergente Majorante der  Reihe der x_n² von N an betrachtet

und damit ist die Reihe zu (x_n²) _n∈ℕ  auch konvergent und damit aus B.