Rechnen mit Beträgen |x-1|^{1/4}

Question

Ich habe eine Frage zu folgender Umformung, die mir in der Lösung gegeben ist:

|(x-1)^(1/4)| = |x-1|^(1/4) =|x-1|^(-3/4)*|x-1|

Erhalte ich nun für |x-1|^(-3/4)  etwas negatives oder was positives wenn mein x im Intervall von 0 bis 1 liegt? und kann ich das ganze schon so umformen wie die es in der Lösung machen?

Answer 1

Die 4. Wurzel  ist für negative Werte in R nicht definiert. Daher muss man (x-1) in den Betrag setzen.

Der Rest ergibt sich aus den Potenzgesetzen: a^b*a^c= a^{b+c}

Answer 2

Die Umformungen stimmen schon denn
|x-1| ^(-3/4) * |x-1|
|x-1| ^(-3/4) * |x-1| ^1
|x-1| ^{(-3 / 4 + 1)}
|x-1| ^{(1 / 4 )}

Bloß, so einen rechten Vorteil sehe ich der
Umformung nicht
|(x-1)^(1/4)| = |x-1|^(1/4) = |x-1| ^(-3/4) * |x-1|

Kannst du den Originalfragetext oder ein
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Comments

In der Aufgabe geht es darum, Lipschitz Stetigkeit einer Funktion in x=1  zu zeigen /widerlegen.

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Okay schon mal vielen Dank für eure Antworten. Ich soll damit zeigen, dass meine gegebene Funktion Hölder stetig ist, was mir auch klar ist.
Allerdings ist die Funktion nicht Lipschitz stetig für x <1. Das muss ja an dem folgenden Term liegen: |x-1|^(-3/4)
Ist meine Funktion dann nicht Lipschitz stetig weil die 4. Wurzel für negative Werte nicht definiert ist?

Meine ursprüngliche Funktion hieß f(x)=(1-x)^(1/4)  und ich habe schon herausgefunden dass sie Lipschitz stetig und damit auch Hölder stetig ist für x ∈(0,1).

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Für x>1 ist deine Funktion nicht definiert, deshalb stellt sich dort die Frage nach Lipschitz-Stetigkeit nicht.

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Okay danke dann hab ich es jetzt verstanden