tan(x)=x Erklärung zu der Lösung

Question

Wieso ist tan(x)=x ?

Man weiß ja, dass tan(x)= sin(x)/cos(x) ist. In eine Aufgabenlösung zu Grenzwerte bestimmen wird tan(x) als x umgeformt. Das kann ich leider nicht nachvollziehen.

Kann mir Jemand erklären, wie man von tan(x) auf x kommt?

Hier ist die funktion: f(x)= (tan(2x))/x, wenn x<0, Ergebnis für den Grenzwert= 2

Answer 1

tan(x)=x ist erstmal keine allgemeine Umformung, weil falsch.

Das kann man allerdings machen, wenn man z.B den Grenzwert x--->0 betrachtet, weil die Taylor Entwicklung von tan(x)

in erster Ordnung x gibt.

Bei der unteren Funktion kannst du analog tan(2x)≈2x nähern.

Comments

tan(x) in erster Ordnung sieht doch so aus: 1/cos(^2)*x

Oder?

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Nee, das was du hingeschrieben hast ist die erste Ableitung von tan(x):

$$ tan(x)'=\frac { 1 }{ cos^2(x) } $$

Die Taylorentwicklung von tan(x) an der Stelle 0 erster Ordnung lautet:

$$ tan(x)\approx tan(0)+tan(0)'*x=0+1*x=x$$

Vergleiche auch

http://www.mathepedia.de/Taylorreihen.aspx

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Ah, stimmt !!!

Vielen Dank :)

Answer 2

> wird tan(x) als x umgeformt. Das kann ich leider nicht nachvollziehen.

Weil's nicht stimmt. tan(x) wird nicht zu x umgeformt, sondern durch x abgeschätzt.

Ähnlich ist das in der Ungleichung sin(x)≤x im Intervall [0, π]. Hier darfst du die rechte Seite der Ungleichung durch eetwas größeres ersetzen ohne dass die Ungleichung aurch ungültig wird. Also ist auch sin(x) ≤ 2x. Dazu muss nicht 2x = x gelten.