Betragsungleichungen |(2x-1)/(2-x)|≤1 lösen

Question

Welche x∈ℝ  erfüllen die folgende Betrags ungleichung?

|(2x-1)/(2-x)|≤1

1. Fall 2x-1≥0 und 2-x≥0, d.hy 1/2 ≤x≤2

(2x-1)/(2-x)≤1         |*(2-x)

2x-1≤2-x         |+x  |+1

3x≤3               |:3

x≤1

L1= {x≤1}

Hier weiß ich leider nicht mehr weiter & ist alles bis hierhin richtig ?

Viele Dank im Voraus !

Comments

Wohin du kommen solltest, siehst du hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7C(2x-1)%2F(2-x)%7C%E2%89%A41 

Ohne Gewähr! Nur mal, dass du einen Anhaltspunkt hast.

Answer 1

|(2x-1)/(2-x)|≤1
beide Seiten sind positiv
Die Aussage kann ersetzt werden duch

[ (2x-1)/(2-x) ] ^2 ≤ 1
(2x-1) ^2 / (2-x) ^2 ≤ 1
(2x-1)^2 ≤  (2-x) ^2
4x^2 -4 x + 1 ≤ 4 - 4x + x^2
4x^2 - x^2 ≤ 3
3x^2 ≤ 3
x^2 ≤ 1
-1 ≤ x ≤ 1

Bei der Skizze ist alles was unterhalb der
x-Achse ist die Lösung

| (2x-1)/(2-x) | - 1 ≤ 0